https://www.dogdrip.net/176177588 1편 자연수 역수의 합
https://www.dogdrip.net/176271589 2편 자연수 제곱의 역수의 합
https://www.dogdrip.net/176710790 3편 자연수 네제곱의 역수의 합
https://www.dogdrip.net/176757161 4편 조화급수의 활용
경고: 본글은 고등학교 이과과정, 미적분 2를 알아야 이해가 한결 수월 합니다.
오늘은 위 급수의 수렴에 대해서 알아보겠다.
우리는 저번 2편에서 테일러급수를 정의하였다.
저번에 증명한 관계로 딱히 다시 증명하지 않을테니
유도과정이 궁금하면 2편을 참고하라
먼저
e라는 상수가 있는데 이 친구는 특이한 성질이 있다.
e^x는
이렇게 미분을 해도 자기 자신이라고 알려져있다.
그렇기 때문에 아무리 많이 미분해도 결국 자기자신이다.
따라서 테일러전개시
이렇게 된다.
x에 1을 대입해 보자.
따라서
이다. 증명끝.
대략 값은 1.718~ 정도 된다.
다음은
위식을보자. (-x) 가 공비인 등비급수의 무한합은 저렇게 나타낼 수있다.
다만 -1<x<1 이여야 한다.
양변을 적분하면
이렇게 나온다.
ln은 e가 밑인 로그이다.
x에 1을 대입하면
이다. 증명끝
위 증명을 아무 의심없이 받아들였다면,
당신은 글에 집중을 안한것이다.
내가 이식을 세울때 전제조건을 뭘로 한정했는가?
등비급수의 특성상 -1<x<1 일때만 성립한다고 전제했다.
근데 아래에는 뜬금없이 1을 대입한다.
이게 가당키나 한 소리인가?
답은 '원칙상 안된다.' 이다.
아까의 논리처럼 적분하기 전에 식에다가 x=1을 대입해보자
띠용? 1과 -1을 교대로 무수히 더하면 그 합이 1/2 이라고 나온다.
가당키나 한 소리인가?
저게 맞다고 해보자.
정신이 아득해진다. 자연수를 교대로 더하고 빼먼 그 값이 1/4 이 나온다.
그뿐만 일까?
모든 자연수의 합이 - 1/12 이라는 결론이 나온다!
1703년 루이지 귀도 그란디에 의해 제기된 이 문제는 수학자들을 혼란에 빠트리게 했다.
이 말도 안되는 논의는 추후에 다루기로 하자.
어쨋든
은 맞다고 알려져있다.
사실 수학에서 미분이나 적분을 하면 수렴범위가 달라지는 경우가 왕왕있다.
그런데 이는 기하학적으로 보면 문제없이 받아들일 수 있다.
위의 계산한식은 결국
이렇게 각각의 식을 0부터 1까지 적분한것이다
즉 그래프 아래의 넓이를 구한것이다.
1/1+x의 그래프를 그려보자.
이렇게 되는데 만약 1이 빠진다면?
구멍하나 뚫리겠지만 전체 넓이에는 변화를 주지 못할것이다.
왜냐하면 점은 넓이에 비하면 깜도 안되게 작기 때문이다.
이래도 찜찜한 독자를 위해 위 방법이 아닌 다른방법으로 증명해보이겠다.
이렇게 급수를 1/1부터 -1/6까지만 써보자.
그럼 절반이 지워진 조화급수가 나온다는것을 확인 할 수있다.
그리고 이것은 항의 개수가 짝수일때는 언제나 성립한다.
더 확장해보면
이렇게 된다.
이제 n을 무한으로 보내보자.
위식은 고등과정의 적분지식을 알아야 이해할 수있다.
어쨋든 조화급수의 교대급수의 무한합은 ln2다.
자 다음 급수를 증명해보자
아크탄젠트는 탄젠트의 역함수이다.
아크탄젠트의 미분값은 1/x^2+1 이라고 알려져있다.
ln2 증명할때와 마찬가지로 등비급수 꼴로 고쳤다.
자 이제 적분해보자
이렇게 된다.
x에 1을 대입하면
짠 증명완료.
저번과 마찬가지로 x=1에서 수렴하는지가 또 의문일 수 있겠지만
수렴한다고 알려져있다. 그리고 ln2때와 마찬가지로
다르게 증명하는 방법도 있지만 어려워서 생략하도록 한다.
위 식은 역사적으로 큰 의미를 가진다. 왜냐하면
이렇게 파이를 단순한 자연수의 역수들의 합으로 구할수있기 때문이다.
이 식은 인류가 최초로 개발한 실용적인 파이의 대수적계산법이다.
이전까지는 파이를 기하학적인 방법으로 구했다.
기하학적으로 구한 파이의 최고기록은
17세기 네델란드 수학자 쿨렌이
정 2^62각형, 대략 정4,611,168,600,000,000,000각형을 그려
계산한 소수점 아래 35자리이다.
당연히 시발 평범한 사람은 정10각형도 연필하고 캠퍼스 주고 그려보라고 하면 낑낑 대는데
저딴거는 어지간한 그림쟁이도 그리는데 몇년 걸릴것이다.
그런데 위의 방법이 나오면서 파이를 구하는 방법은 미친듯이 쉬워졌다.
저정도면 평범한 사람도 연필하고 종이만 있으면 노가다해서 구할 정도 아닌가.
그뒤로 파이계산속도는 기하급수적으로 빨라진다.
이 급수는 라이프니츠가 발견했다고 알려져있다.
사실 더 이전에 마다바라는 수학자가 위식을 알아냈지만
엄밀히 증명해내지는 못했다.
그래서 위 식을 '라이프니츠식'이라고 부른다.
신기해서 펜을 들고 3.141592...가 나오는지 직접 계산할 개붕이가 있다면
단념하길 바란다.
저 급수의 수렴속도는 매애애애애우 느리다.
3.14가 나오려면 150항을 계산해야 하고
3.1416이 나오려면 10만항을 계산해야 한다.
3.1415926535를 계산하려면 대략 1조개의 항을 계산해야 한다.
그래서 수학자들은 위식을 적절히 변형해 좀더 빠르게 수렴하는 급수를 찾았다.
샹크스라는 수학자는 위식을 변형한 공식을 활용해 파이를 손으로 계산하였다.
사실 샹크스하면 원피스에 나오는 샹크스가 더 친숙할텐데
정확히 그이름 맞다. 스펠링도 같다.
어쨋든 이분은 손으로 자그마치 25년!!동안 계산해 707자리까지 계산하였다.
이는 현재까지도 손으로 계산한 기록중에 가장 높은 기록이다.
얼마나 뿌듯했는지 그는 그것을 적은 종이를 무덤에 같이 묻어달라고 까지 했다.
하지만 (퍼거슨이라는 사람 사진을 아무리 찾아도 없길래 그냥 퍼거슨 감독 사진으로 대체한다.)
1945년에 퍼거슨이라는 수학자가 탁상용 계산기로 계산한 결과
528번째 자리부터 모조리 틀렸다는게 밝혀졌다.........
그래도 한가지에 무려 20년 넘게 열중했던 태도는 결과와 상관없이 존경할만 하지 않은가
수학에서 요구되는 '집요함'을 누구보다 뛰어나게 실천했던 그는 수학자들의 귀감이 되었고,
지금도 영국에 있는 그의 묘비에는 간간히 수학자들이 성지순례를 온다고 한다.
어찌됬든 컴퓨터가 발달한 지금, 파이의 계산은 더욱 쉬워졌고
현재 컴퓨터가 계산한 최고기록은
2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프(Peter Trüb)가 105일 동안 계산하여 얻은
소수점 아래 22조 4591억 5771만 8361자리이다.
급수 시리즈 끝.
깊은숲속옹달샘
라마누잔합이네
감귤와이파이
오 하나도 못 알아 먹었지만 추천은 줄께
몰러임마
혹시 요청도 받으면 백터도좀 다뤄주셈
재잘재잘
컴퓨터가 기록한 기록은 학자 xxx은 ... 자리이다. 이거 문장 뭐임? 오타?
수학잘하고싶다
오타임. 수정함 ㄳ
이과대이학부
도중 도중 라마누잔합 보이네