이글을 읽기전

 

고등학교 이과2학년 수준의 미적분을 알고있다면 '매우' '간단히' 이해 할 수 있습니다.

그러나 미적분을 전혀 몰라도 이해 가능합니다.

물론 수학적으로 완벽한 이해까지는 아니고 '아 이렇게 증명하는구나' 정도는 이해가 되실겁니다.

다시 한번 기호에 쫄지말고 읽어보는 용기를 가져주시길 부탁드립니다.

 

 

 

 

이 급수는 저번 편에서 수렴함을 보였다.

자 근데 이것의 정확한 값은 어떻게 구해낼까?

 

 

수학자들을 100년간 괴롭히던 문제를 천재씹사기밸붕수학자 오일러가 1735년 증명에 성공한다.

참고로 이분의 대가리가 얼마나 씹금수저냐면 돌아가시기 전 17년 정도의 기간동안은

시력을 완전히 잃으셨다.

앞조차 못보는 상황에서 수학은 어떻게 연구했냐고?

싹다 암산으로 하셨다.

환갑의 나이에 암산으로 논문을 줄줄 써내려가는건

물론 당시 수학자들을 괴롭히던 삼체문제 풀이에 큰 공을 세우시니

가히 수천년에 한번 나올 법한 천재라고 일컫을수 있겠다.

 

그는 바젤대학교에서 베르누이( 앞에 나온 베르누이랑 다른사람이지만 어쨌든 같은집안이다) 밑에

수학하면서 '바젤문제'에 흥미를 가졌고

그는 놀랍게도 '삼각함수'로 이를 증명하는데 성공한다.

거두절미하고 어떻게 증명했나 보자.

 

 

사인함수라는게 있다. 

다짜고짜 들이대니 이게 무슨 함수냐고 물을수도 있을것이다.

수학시간에 졸았어도 한번쯤은 들어봤을법한 사인,코사인,탄젠트에서 그 사인 맞다.

그 사인을 함수로 일반화한것이다. 어쨋든 저런 함수가 있다.

그리고 그 함수는 ± nπ 에서 근을 가진다

π, -π

2π, -2π

3π, -3π

..................................

 

이런식으로 무수한 근을 가진다는것이다.

우리의 천재수학자 오일러씨는 이를 활용해 꽤나 대담한 발상을 하였다.

 

그는 사인함수가 다항함수꼴로 나타낼수 있을것이라 생각하고 이를 다항함수 꼴로 정리하였다.

 

 

 

 

 

 

어떤 아이디어인지 살펴보자

 

가장 쉬운함수를 예로 두자. y=x^2-1 이라는 함수가 있다.

만약 우리가 이 함수가 뭔지 모른다면 어떻게 추론할까?

이 함수는 근이 -1,1 이니 역으로 y=k(x+1)(x-1)로 둘 수 있겠다.

k는 계수를 모르니 미지수로 둔것이다.

그리고 적당한수를  대입해서 k를 찾으면 된다.

위 함수는 (0,-1)을 지나니 (0,-1)을 대입하면 k=1이 나온다.

고로 y=(x-1)(x+1)

 

 

오일러씨는 이 아이디어를 그대로 사인함수에 적용하였다

 

 

먼저 0에서 사인함수는 근을 가지니 x가0,π,-π, 2π,-2π 에서 근을 가지니 이를 나타내면 (계수는 모르니 m으로 둠)

1번과 같이 되고

이를 합차공식을 이용해 적절히 정리해주면 2번

이때 적당한 값을 묶어 빼준다고 생각하면 3번과 같은 식으로 정리된다.

 

 

참으로 대담한 발상이다. 자 이제 k값만 구하면 게임끝이다. 이때 k값을 어떻게 구할까?

 

일단 양변을 x로 나누어주자

 

 

 

이때 양변에 x를 0으로 극한을 보내주면 sinx/x의 극한값은 1이라고 알려져있다.

왜 그러냐고?

 

불필요하기 때문에 구태여 증명하진 않겠다.

 

사실 이과학생이라면 보자마자 무슨 뜻인지 바로 알것이다.

하지만 몰라도 딱히 상관없다.

걍 넘어가자. 만약 궁금하면 구글링해보시길.

 

 

자그러면  위 식하고 아래식하고 같아야 하니 k=1 이 나온다.

 

결국

 

이다.

 

자 근데 사인함수를 다항식의 형태로 나타내는 방법은 한가지가 더있다.

바로 테일러급수이다.

 

 

라고 알려져 있다. 

(참고로 !은 팩토리얼이란 뜻으로 1부터 그 수까지의 모든 자연수를 다 곱한다는 뜻이다.

예를들어 5!은 1*2*3*4*5이다.

 

그래서 양변을 x로 나눠주면

 

 

이다.

 

그런데 왜냐고?

이 때쯤 정상적인 고등수학 교육과정을 밟은 이과학생이라면 어리둥절 할 것이다.

그렇다 . 대학과정이다. 하지만 유도는 존나게 쉽다.

미분이 뭔지 수박겉핥기 정도만 알아도 바로 이해할 수 있다.

 

이 부분은 미분을 알아야 이해 할 수있습니다.

미분을 모른다면 이부분은 걍 패스하시길 바랍니다.

또다시 '그냥 그렇다'라고 받아들이고 넘어가주시길 부탁드립니다.

 

 

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증명

 

우리는 아까 함수를 유추할 때 근을 찾아내서 유추하였다.

함수를 유추하는 방법은 하나가 더있으니 바로 미분해서 유추하는법이다.

 

f(x)= 3x^2+6x+1  이라는 함수가 있다고 치고,

우리는 이 함수를 모른다 치자.

이제부터 미분해서 함수를 유추해보자

 

 

 

 

 

 

 

이렇게 미분하고

 

각각 도함수에 0을 넣어서 값을 내보자. 왜 0을 넣었냐면 그게 가장 쉬운값이기 때문이다.

 

이제 우리가 알아내야할 미지의 함수를 y=ax^2+bx+c 로 두고 스무고개 하듯이 차례차례 유추해 본다면

 

 

이렇게 된다.

(왜 왼쪽 식이 저따구로 정렬되었냐면 의도가 있는건 아니고

필자가 컴맹이여서 저거 정렬하는 방법을 몰라서 그런다. 양해바람)

 

그리고 위 결과와 도함수의 근을 적절히 조합하여 유추하면

 

 

짜잔, 이렇게 원래식을 완벽히 유추해내었다.

 

이 과정을 일반화 한게 테일러급수이다.

 

 

 

그리고 위 과정을 테일러급수로 나타내면

 

이렇다고 알려져있다. 위의 알고리즘에 따라 손쉽게 증명가능하니 시간나면 직접해보길 바란다.

 

 

이제 사인함수를 직접 테일러 전개해보자.

 

 

사인함수의 도함수에서 x=0일때의 해를 구하면 위와 같이 나오니

정리하면

 

 

이 된다. 증명 완료 

 

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자 이제 다왔다.

처음에 오일러가 구한 식과, 테일러급수에 의해 나온식이 같다라고 놓아보자. 

 

 

 

이때 양변의 x제곱의 계수를 비교하면 위와 같이 나온다.

여기가 살짝 고비인데 이해가 안간다면

 

각항에 있는 모든 1과 -x^2/π^2을 곱한 값이  x^2의 첫번째 계수

각항에 있는 모든 1과 -x^2/4π^2을 곱한값이 x^2의 두번째 계수

각항에 있는 모든 1과 -x^2/9π^2을 곱한값이 x^2의 세번째 계수

.....................................

 

이렇게

무한히 더해나간다고 생각하자. 그러면 반갑게도 우리가 그토록 보고싶었던 익숙한 꼴이 나온다.

 

 

 

증명 완료.

 

 

 

 

이 증명을 처음 보고 무슨 생각이 떠올랐는가?

수학의 아름다움에 대한 경외감?

나도 처음에 그것이 떠올랐지만 곧 의심이 싹트기 시작했다.

과연 위 증명은 수학적으로 엄밀하게 맞을까?

 

결론부터 말하자면 애매하다. 저 케이스의 경우에는 확실하게 수학적으로 맞지만

다른 케이스의 경우 저런 풀이에 대한 반례가 존재한다.

하지만 오일러가 스타트를 끊은 이후로 할 일 없는 수학자들이

대략 20여가지의 증명을 내놓았다.

그리고 그 증명의 결론은 모두 '6분의 파이제곱이 맞다' 이다.

수학적으로 1/n^2의 무한급수의 값은 6분의 파이제곱이다.

다음으로 쉬운증명은 이중적분으로 하는 증명인데 그때부턴 난이도가 아득해지기 때문에

생략하기로 하겠다.

 

 

다음편에는 1/n^4의 무한급수의 합, 즉 자연수의 역수의 네제곱의 합을 구하는 방법을 알아보겠다.

근데 그건 의외로 이것보다 쉽다.

그리고 1/n^3 의 무한급수의 합을 구하는 방법도 알아보겠다.

 

 

 

다음시간에.....