조화급수는 자연수의 역수를 무한히 더한 급수를 말한다

그리고 조화급수는 무한대로 발산한다고 1편에서 증명했다.

자 그럼 이번엔 조화급수를 활용해서 여러가지 재미있는 증명을 살펴보겠다.

이번 편은 철저히 흥미 위주의 주제로만 글을 써보겠다.

 

(1)소수의 개수는 무한한가?

 

여기서 소수는 약수가 1과 자기자신밖에 없는 수를 의미한다.

예컨데 2,3,5,7,11.......

 

왜 이렇게 뜬금 없는 질문을 할 까 의문이 들 수도 있다.

 

소수의 개수는 무한한가? 에 대한 해답은 이미 수천년전 유클리드가 증명해내었다.

 

수학에서 가장 아름다운 증명중 하나에 꼽힐 정도로 아주 간단하고 명료한 증명이다.

 

소수의 개수가 유한하다고 가정해보자.

가령 소수는 2,3,5,7,11........p 까지 있고, 그 뒤로는 아예 소수가 존재하지않는다

그리고 위 수를 전부곱한다음 1을 더해서 새로운 수를 만들어보자

 

N= (2x3x5x7x11..........xp) +1

 

그런데 N이라는 수는 2,3,5,7......P 어느수로도 나누어 떨어지지 않는다.

따라서 N은 그자체로 소수이거나, 아니면 새로운 소수의 곱으로 이루어진 수다.

따라서 소수의 개수를 몇개로 잡든 그것보다 더 많은 소수를 만들어낼 수있다.

따라서 소수의 개수는 무한하다.

 

참으로 간단하지 아니한가?

폴 에어디쉬라는 수학자는 신이 만들어놓은 책에 적혀있을 법한 증명이라고 극찬하기 까지 했다.

 

그런데 오일러는 이를 훨씬 더 간단하게 증명했다.

바로 우리가 1탄에서 본

 

 

 

을 이용해서 증명한다!

 

일단 한가지를 전제해 놓고 시작하자.

모든수는 소인수 분해 가능하다.

(이는 산술의 기본정리라고 이미 증명되어있다.)

 

가령 

 

15=3 x 5

27=3^3

62=2 x 31

7= 1 x 7 

 

이런식으로 가능하다.

다음식을 보자

 

 

2,3,5,7.... 등 모든 소수의 역수를 저런식으로 정리하면

모든 자연수의 역수를 나타낼 수 있다.

 

예를 들어 보자

가령 5= 1*5 이니 1/5= 1/1 *1/1 *1/5 *1/1....... 이 될것이고

54= 2* 3^3 이니 1/54= 1/2 *1/3^3 * 1/1 *1.1 *1/1.......이 될 것이다.

 

이런식으로 모든 자연수의 역수의 합을 나타낼 수있다.

 

그런데 1편에서 증명했다 싶이

 

모든 자연수의 역수의 합은 무한이다. 따라서

 

 

왼쪽 식이 무한이면 오른쪽 식도 무한이여야 한다.

따라서 소수의 개수는 무한이다.

(더 엄밀한 증명은 기하급수로 오른쪽 식을 바꾼 후 증명해야 하지만 그냥 생략하도록 하겠다.)

조화급수로 소수의 무한성을 증명해내었다.

오일러는 역시 천재다.

 

 

(2) 조화급수의 일부는?

 

자 이제  다음 급수를 보자.

 

우리는 조화급수가 발산한다고 이미 증명했다.

 

근데 만약에 조화급수에서 수를 몇가지 뺀다면 그것은 수렴할까 발산할까?

 

예를들어

 

 

짝수인 항을 모두 제거한, 즉 홀수만 남았을때는 수렴할까 발산할까?

 

답은

 

 

 

 

발산한다.

 

사실 직관적으로 생각하면 바로 나오는 답이다.

홀수는 전체 자연수의 절반쯤 된다.

무한이 절반있어도 결국 무한인건 다르지 않은 셈이다.

똑같은 논리로 짝수의 모음도 무한대로 발산한다.

 

 

자 그러면  이렇게 한번 해보자.

문명과 오랜시간동안 분리되어 있었거나 외국에서 자라지 않은 이상

3,6,9 게임은 알것이다.

 

지금부터 내가 급수를 하나 만들고 이를 3,6,9 급수라고 명명하겠다.

근데 짝! 은 숫자로 칠 수 없으니까 걍 빼자

 

한마디로 삼육구 게임에서 나오는 숫자만  역수로 모두 더한 수열이다.

 

위 수열은 발산할까 수렴할까?

 

답은 '수렴한다'

 

잉? 무한대에서 절반을 빼든 30%을 빼든 90%을 빼든 무한이지 않을까?

 

굉장히 반직관적인 결론이다.

 

수렴한다는 증명은 다음과 같이 한다.

 

자 일단  일의자리에서, 십의자리에서, 백의 자리에서 각각 369게임에서 부르는 숫자의 개수가 몇개인지 알아보자

 

일의자리는 6개

십의 자리는 □□ 이렇게 두자리 수가 있다면 첫째 자리에는 1~9 에서 3,6,9,를 제외한 6가지, 둘째 자리에는 0~9 까지 중에 3,6,9를 제외한

7가지.  6*7= 42 가지이다

백의자리는? □□□ 세자리수가 있다면  첫째 자리에는 1~9 에서 3,6,9,를 제외한 6가지, 둘째 자리에는 0~9 까지 중에 3,6,9를 제외한

7가지, 셋째 자리에는 0~9 까지 중에 3,6,9를 제외한 7가지  6*7*7=294 가지이다.

 

규칙이 보이는가?

삼육구에서 불려지는 숫자의 개수는 자리수가 하나 늘어날때 마다 7을 곱하면 된다.

가령 천의 자리에서는 6*7*7*7 가지이고

만의자리에서는 6*7*7*7*7 가지이다.

 

이를 활용해 수렴성을 증명한다.

삼육구 급수를 일의자리,십의자리,백의자리.....로 쪼개보자.

 

이렇게 무한히 써내려갈 수있다.

1/2+1/2+1/4.....는  분모가 더 작은 1/1을 6번 더한것보다 작거나 같을것이다.

십의자리에서는 1/10을 42번 더한것보다 작거나 같을것이다. 

백의자리에서는 1/100를 294번 더한것보다 작을것이다.

이를 잘 정리하면 기하급수 꼴이 나온다는 걸 알 수있다.

 

기하 급수란 무엇인가?

 

예를들어  1/2 +1/4 + 1/8 ....을 무수히 더한다고 하자.

 

 종이의 반, 종이의 반의반, 반의반의반을 무수히 더하면 종이 한장이 될것이다.

이처럼 1/10 , 1/3 과 같이 1보다 작은 분수의 이제곱,삼제곱,사제곱.....을 무수히 더하면 반드시 수렴한다고 알려져있다.

 

자 그럼 아까 구한 식들을 전부 더해보자.

 

 

 

기하급수의 합은 반드시 수렴한다. 실제로 계산하면 20이 나온다.

결론적으로  삼육구 급수의 합은 20보다 작다.

삼육구 급수는 수렴한다!

 

 

참 기묘한 결론이다.  무한에서 일부를 빼면 무한이 아니라 특정한 값이 튀어나온다!

사실 근데 이는 어느정도 예측된 결과다.

 

우리가 삼육구 게임을 하면 신체 일부나 집문서를 걸고 하지 않는이상

백의자리를 넘어가지 않았을것이기 때문에 그렇게 많은 숫자가 없어지는지는 잘 체감이 안된다.

그런데 만약 1부터 10^100까지 3,6,9 가 한번도 들어가지 않은 수의 비율을 계산해보면

(7/10)^100 해서

대략 0.00000000000003 % 정도 밖에 되지 않는다.

즉 자연수의 거의 대부분이 소거되는 셈이다.

 

 

 

사실 이 급수의 원조는 바로 수학자 '캠프너'씨가 발견한 '캠프너 급수'이다.

369가 없는 서양인지라, 그는 9가 들어간 수만 없앤 no.9 급수를 만들어내었다.

 

 

그럼 캠프너 급수의 정확한 값을 구하는 방법은 있을까?

 

없다.

 

그러나 역시 컴퓨터의 발달로 무작정 계산해서 근사값을 알아낼 수 있었는데

no.9급수의 경우 대략 22.9~ 정도 된다고 한다.

369 급수가 얼마에 수렴하는지는 나도 잘 모르겠다.

왜냐하면 이걸 해본 수학자가 없기 때문이다. 

나중에 그런 기계를 만져볼 기회가 있다면 한번 계산해 보겠다.

또한 캠프너 급수가 유리수인지 무리수인지도 현재 알려져있지 않다.

 

일단 현재 확실하게 알려져있는것은 '캠프너급수는 전부 수렴한다.'

예를들어 '2948239048902380이 들어간 숫자를 뺀 캠프너급수'도 수렴한다.

 

가령 3141592가 들어간 숫자를 뺀 캠프너 급수는 

 

2302582.3~ 으로 수렴한다고 알려져있다.

 

 

(3) 트와이스

 

왜 하필 트와이스냐면 별거 없고 그냥 내가 좋아하기 때문이다.

 

 

트와이스를 좋아하는 작성자는 트와이스 앨범을 사기로 했다.

트와이스의 멤버는 총 9명이다.

그런데 앨범 하나당 멤버 한명의 브로마이드가 동봉되어있고

전부 랜덤이다.

멤버 9명의 브로마이드를 전부 모으려면 최소 앨범을 몇장 사야 할까?

 

 

일단 첫번째 앨범을 사면 9장중 하나는 가지게 된다.

두번째 앨범을 사면?, 무엇이 올진 모르겠지만 적어도 처음 가진것 중에서 하나는 달라야

하니 8장중 하나를 가져야 한다.

세번째는 7장중 하나

네번째는 6장중 하나..... 해서 아홉번째에 콜렉션을 모두 모으는게 가장 이상적이다

 

이렇게 하면

 

첫번째는 9/9 

두번째는 8/9

세번째는 7/9

.......

아홉번째는 1/9 의 확률을 만족 시켜야 가장 이상적인

사례가 나온다.

 

그럼 이 이상적인 사례를 만족시키려면 얼만큼 시행을 해야할까?

첫번째,두번째.. 모든 경우를 다 하나씩 쪼개서 생각해보자.

 

첫번째는 매우쉽다. 한번만 하면 된다.

그럼 두번째는?  여기서 부터가 문제인데, 위에서 나온 시행을 베르누이 시행이라고 한다.

즉 실패,아니면 성공이고 성공할때까지 시행을 반복하는것이다.

베르누이 시행을 성공하기 위해 필요한 평균적인 시행 횟수는 몇일까?

(1/확률) 이라고 알려져있다.  이것을 증명하기 위해선 약간의 기교가 필요하기 때문에 생략하기로 하겠다.

만약 알고싶은 사람은 구글에 '기하분포의 평균'을 검색해보길 바란다. 

 

위의 가정대로 하면 두번째는 평균적으로 9/8번 시행해야 만족할 결과를 내놓을수있다.

세번째, 네번째....도 다 더한다면?

 

그럼 다음과 같다.

 

 

보이는가?  조화급수 꼴이 튀어나온다!

 

이것을 일반화 하자.

 

 

저 식에 따라 사야할 트와이스 앨범수를 계산하면  대략 25.4 가 나온다.

즉 평균적으로 26장이상은 사야 컬렉션을 다 모을수 있다는 말이다.

이 때 '평균'이라는 말에 주목해야 한다.

평균 26장이상이라는거지 26장 산다고 꼭 다 모을 수 있는건 아니다.

운빨 드럽게 없는새끼는 1000장 사도 다 못모을수 있다.

반대로 운좋은 새끼는 그냥 9장 샀는데 신통방통하게 다 나올수있다.

 

그리고 우리는 앞서 조화급수가 무한으로 수렴한다는것을 증명했다.

결국 모아야 할 콜렉션이 많아질 수록 사야할 횟수는 더 늘어남을 의미한다.

근데 저 조화급수가 해보면 알겠지만 상당히 계산하기 귀찮다

 

 

위 그래프를 보자. 한칸의 가로 간격은 1이고

각 칸의 세로는 1/1, 1/2, 1/3..... 이다

따라서 저 직사각형 막대의 묶음은  1/1 + 1/2 +1/3 .... 즉 조화급수이다.

저 직사각형을 무한대로 그려가나면  저 y=1/x  그래프와 x축사이의 넓이랑 비슷할 것이다.

1/x 를  1부터 n까지 적분하면 lnx 가 나온다.

그래서 n이 충분히 크면 (보통 10보다 크면 사용해도 무방)

저식을 근사해 다음과 같은 결론을 내린다.

 

 

 

다시 트와이스를 예로 들어보자.

what is love 앨범에 들어있는 포토카드는 90종류이다.

이를 위식에 집어넣으면 90 x ln (90)  하면 대략 400정도 나온다.

그런데 앨범 한장에 5장씩 들어있으니 나눠주면 80,

고로 트와이스 포토카드를 다 모으는데 필요한 앨범수는 평균적으로 80장이다.

한장에 대략 만원이라 치면  최소 80만원어치 이상은 질러야 포토카드를 전부 모을 수도 있고 못 모을 수도있다.

 

 

 

그러면 포켓몬 띠부띠부실을 모으기 위해선 빵을  몇번 사먹어야 할까?

위키백과에 따르면 구버전은 151종이라고 적혀있다.

위의식에 대입해보면 151 x ln(151) 하면

대략 757.6 이나온다.

따라서 빵을 최소 758번 사먹어야 다 모을 수도있고 아닐 수도 있다.

빵을 하나에 천원이라 쳐도 75만 8천원 어치를 먹어야 한다는 의미이다.

하루에 두개씩 먹어도 일년 넘게 걸린다.

 

 

(당분간은 휴지기를 가집니다)