주변에서 복권을 사서 이익을 없다는 얘기를 할때 수학에서의 '기대값'이라는 용어를 자주 차용해서 써
'기대값' 이란 어떤 시행에서 얻을 수 있는 이익과 확률을 곱한 것으로서, 그 시행의 평균적인 이익을 나타내
복권은 그 기대값이 가격의 절반정도 밖에 안되기때문에 손해라는 것이지
그러면 다음 역설을 들어봐 이 문제는 베르누이가 상트 베테르부르크에서 만들어서 상트페테르 부르크의 역설이라고 불러
『
페테르 부르크에 있는 어떤 도박장에는 다음과 같은 게임이 있었다.
▶ 동전을 던져 뒷면이 나오면 계속 던지고, n번째 처음 앞면이 나오면 게임이 종료되고 2n-1루블의 상금을 지급, 도박의 참가비는 10,000루블이다
』
다시 말해서 처음에 앞면이 나오면 1루블, 처음에 뒷면 나오고 그 다음에 앞면이 나오면 2루블씩 게임의 시행만큼 액수가 두배로 증가하는 도박이야.
게이들이라면 이 도박에 참여 하겠어? 개 병신이 아니면 참여하지 않겠지?
그럼 여기서 이 게임의 기대값을 계산해 보자
?????
씨/발 이 게임의 기대값은 무한대야. 기대값만 놓고 보면 전재산을 걸어서라도 참여해야 되는 게임인거지 ㅋㅋ
기대값이 무한대인데 아무도 이 게임을 하려고 하지 않는 이 역설은 기대 효용이라는 이론을 도입하게 만들지
" 부의 증가로 발생하는 효용의 증가는 그가 이미 소유하고 있는 재화의 양에 반비례한다.
그리고 같은 기대값을 갖더라도 발생확률이 적은 사건이 주는 효용은 그 확률에 비례해서 줄어든다."
즉 위의역설에 한 다니엘 베르누이의 해석은 두 번째 동전 던지기에서 피터가 받을 수 있는 2루블의 가치는 첫 번째 동전 던지기에서의 1달러 가치에 두 배에 못 미치고
세 번째 동전 던지기에서 받을 수 있는 4루블의 가치는 두 번째 동전 던지기에서 받을 수 있는 2루블 가치의 두 배가 안된다 라는거지...
결국 이 게임을 통해서 피터가 얻게 되는 효용은 유한할 수밖에 없다는 말이야
즉 가능성이 적고 실현 값이 큰 확률 사건의 실제 효용은 그 사건의 기대값보다 월등히 작다는 논리임
이것은 이 게임에 상한선을 걸면 알 수 있는데.
이 게임을 유한인 경우로 바꿔서 이 게임에서 받을 수 있는 돈의 상한선이 10억루블로 제한한 게임의 기대값은 16루블이야
최고 한도를 330억조로 올린다고 하더라도 이 게임의 기댓값은 25달러에도 못 미쳐
결국 받는 금액의 기대값을 무한대로 만들어주는 무한급수의 대부분의 항은 어떤 현실성도 없는거지
P.S. 한 가지 더 추가한다면 이 논리는 종교에도 적용이 된다. 기독교를 비롯한 여러 종교들은 신을 성실히 믿을 경우 천국을 보장하는데, 천국에서는 영생을 얻게 되므로 신이 존재할 확률이 아무리 낮더라도 종교를 믿음으로써 얻게 되는 기대값은 무한대에 가깝지
하지만 많은 사람들이 종교를 갖지 않고 있으며, 종교를 갖더라도 현실에서 부나 명성을 누리고자 쏟아 붇는 노력에 비하면 천국에 가기 위해서 큰 노력을 들이지는 않지?
기대값은 아주 크나 실현가능성이 불확실한 사건보다 사람들은 당장 누릴 수 있는 작은 효용을 택하는 단적인 예라고 본다
꼬았
노루야
아지형
정육점 아저씨
털ㄴ업
꼬았
의지의객관성
옻패킹
느니느느니
사실 별 다를 바 없는 너무너무너무 엄청나게 큰 돈이라는거지.
1조가 아니라 1000경 원으로 바꿔도 누구나 전자를 선택하게 되어있어.
하루벌어 하루 간신히 먹고 사는 소년가장에게, 100% 확률로 100억원이랑, 99% 확률로 500조원.
둘중에 하나 찍으라고 하면 뭐하겠어. 당연 전자지.
1% 의 실패할 가능성이 499조보다도 크게 느껴지니까.
MWL
이것저것 복잡하게 계산하고 있었는데 그럴 필요가 없구나.
romio
털ㄴ업