n^5 - n 은 30으로 나누면 언제나 정수로 나눠질까? (n=자연수)

답은 YES
왜 그렇게 되는지 하나씩 예를 들어볼 필요도 없이 인수분해만 하면 답이 나온다

n^5 - n 을 인수분해하면

n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2 + 1) 로 분해되는데

n 에 어떤 자연수를 대입해도

n-1, n, n+1 중 하나는 반드시 2의 배수이고

n-1, n, n+1 중 하나는 반드시 3의 배수이고

n의 끝자리 수가 1, 6 이라면 n-1 은 5의 배수가 되고
n의 끝자리 수가 4, 9 이라면 n+1 은 5의 배수가 되고
n의 끝자리 수가 2,3,7,8 이라면 n^2 + 1 은 5의 배수가 된다

즉 n-1, n, n+1, n^2 +1 중 하나는 5의 배수이다

2*3*5 = 30 이므로

n^5 - n = 30*k 임을 알 수 있고 (k=임의의 정수)

(n^5 - n) / 30 = k 임을 알 수 있다

유튜브에서 보고 신기해서 정리해봄