때는 중세 유럽

 

 

갈릴레오: 님들아 님들아!!

 

 

 

 

 

 

 

시민1: ?

 

 

 

 

 

 

 

 

갈릴레오:  내가 방금 개쩌는거 알아냄 ㅋㅋㅋㅋㅋ.  자연수와 제곱수의 개수가  같은거 앎?

 

 

 

 

 

 

 

시민1: ??? 

 

 

 

 

 

 

 

 

갈릴레오: 자 한번  봐봐 

 

 

 

 

 

 

이렇게 1은 1과 , 2는 2의제곱인 4와, 3은 3의제곱인 9와.... 

이렇게 예외없이 무한히 일대일대응시킬수 있잖아

그럼 둘이 개수 같은거 아님????

 

 

 

 

 

 

시민1:  어..... 그런가?

 

 

 

 

 

 

시민2: 뭐래 저새끼 말 무시하셈. 저새끼 지구가 태양 주변 돈다고 주장하는 개빡대가리임 ㅋㅋㅋㅋ

 

 

 

 

 

 

 

시민1: 아 그래요?  ㅋㅋ 그게 말이 되겠냐 등신아? 어? 문과인 나도 안다 으휴

 

 

 

 

 

 

 

갈릴레이: ㅠㅠㅠ

 

 

 

 

때는 시간이 흘러흘러 300년 후

 

 

 

칸토어: 내가 연구해보니까 갈릴레이 말이 맞는듯

 

 

 

 

 

수학자: ??? 약주하셨어요?

 

 

 

 

칸토어: ㄴㄴ.  무한은 유한이랑 달라.  개수를 비교하는 방법도 유한이랑 다르게 정의해야 해.

 

 

칸토어: 내가 정의를 새로 내리겠다.  '무한집합끼리 서로 일대응 대응이 가능하다면  그 집합끼리의 원소의 개수는 서로 같다!'

 

 

시민: 한국말로 좀 ;;;

 

 

 

 

 

칸토어: 자 이 밑의 그림을 봐봐.

 

 

이렇게 서로 예외없이 두 집단을 짝지어 줄 수 있지?

이걸 일대일 대응이라고 함.

그리고 두 집단의 일대일 대응이 가능하다면

두집단의 크기가 같다는거임!

단 두 집단의 크기가 각각 무한할때만!

 

 

 

 

 

 

 

수학자: 그 정의에 따르면 갈릴레이의 말도....

 

 

 

 

 

 

칸토어: ㅇㅇ 맞음. 제곱수의 개수와 자연수의 개수는 같음!

갈릴레이가 주장한건 역설이 아니였던거임 ㅋㅋ ( 그 당시까지는 갈릴레오의 역설이라고 불렀다.)

 

 

시민: 헐 대박

 

 

 

 

 

 

 

칸토어: 이런 논리로 대응시켜보면 짝수와 자연수의 개수도 같음!

 

 

 

 

시민: 아니 짝수는 부분이고 자연수는 전체잖아요. 부분과 전체가 같을 수 있어요?

 

 

 

 

 

칸토어: 무한의 세계에선 가능하답니다 ㅎㅎ. 그리고 또 퀴즈, 자연수와 정수의 개수는 같을까?

 

 

 

 

 

 

수학자: 정수가 더 많지 않을까?  정수는 음수와 0이 있으니까... 

 

 

 

 

 

 

 

칸토어: ㄴㄴ 둘이 개수 같음 ㅋㅋ

 

 

 

 

 

 

 

자  1을 제외한 짝수는 양수, 홀수는 음수에 대응시킨다는 규칙으로 대응시켜 나가면...

 

 

 

 

 

 

수학자: 헐! 일대일 대응이 되네!  그렇다면 정수와 자연수는....

 

 

 

 

 

 

칸토어: ㅇㅇ  정수와 자연수의 개수는 서로 같음!  직관적으로는 받아들이기 힘들겠지만 ㅎㅎ

 

 

 

 

 

수학자: 그럼 질문 있습니다. 자연수와 유리수의 개수는 서로 같나요?

 

 

 

 

 

 

 

 

시민: 에이 아무리 그래도 그렇지,  1/5 , 0.4324  이런걸 자연수랑 어떻게 대응시켜요 ㅎㅎ

 

 

 

 

 

칸토어: ㅎㅎ 과연 그럴까요? 자,  유리수의 정의가 뭐지?

 

 

 

 

 

수학자: 정수/정수 로 나타낼수 있는 수요.

 

 

 

 

 

칸토어: ㅇㅇ 그럼 

 

표를 그려봅시다.

 

 

 

 

자 이렇게 가로축의 숫자는 분모, 세로축의 숫자는 분자에 넣는다는 규칙으로 이렇게 표를 쭈욱 그려봅시다.

 

 

이 다음에 이 칸에다 순서대로 자연수를 채워보면

 

 

 

 

 

 

 

짜잔!

 

 

 

 

 

 

 

칸토어: 1은 1에,  2는 1/2에, 3은 3에,  4는  1/3에..... 이렇게  일대일 대응이 가능함!

즉 양의 유리수와 자연수의 개수는 같음!  

부호가 바뀌어도 이 관계는 동일할테니 음의 유리수와 음수의 개수는 같음!

0은 0에 대응 시키면 되니 결론은.....

 

 

 

 

 

 

수학자: 헐! 유리수와 정수의 개수는 같네!  

 

 

 

 

 

 

 

칸토어: ㅇㅇ  자연수와 정수의 개수는 같고,  정수의 개수는 유리수의 개수와 같으니.....

 

 

 

 

 

 

 

시민: 하핫 이건 문과인 제 전문이네요 ㅎㅎ  삼단논법에 의거, 자연수와 유리수의 개수는 같다!

 

 

 

 

 

 

 

시민: ????? 헐 시발

 

 

 

 

 

 

칸토어 :  제곱수의 개수= 짝수의 개수=홀수의 개수 = 자연수의 개수 = 정수의 개수 = 유리수의 개수  ㅇㅇ

 

 

 

 

 

 

 

수학자: 헐 쩐다. 이런걸 어떻게 생각했어요?

 

 

 

 

 

 

 

칸토어: 그러니까 천재죠 ㅎㅎ

 

 

 

 

 

수학자: ;;

 

 

 

 

 

칸토어: 여기서 끝난게 아닙니다!  자연수가 많을까요? 실수가 많을까요?

 

 

 

 

 

 

 

시민: 아 몰라요;; 유리수랑 개수 같은거 보니  실수랑도 개수 같지 않을까요?

 

 

 

 

 

칸토어: 그건 계속 생각해봐도 모르겠어서  개수가 같다고 가정하니까  모순이 생기더라고요.

전문 용어로 귀류법이라고 하죠 ㅎㅎ

 

 

자 먼저 0과 1 사이의 실수와 자연수가 일대일 대응된다고 가정해봅시다.

그리고 아무런 실수나 써서 대충 대응시켜 봅시다. 이렇게

 

 

 

 

 

 

그리고 대각선에 적혀있는 숫자만 모아서 또다른 수를 만들어 봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

칸토어: 그다음에 이 숫자를 변형시켜 봅시다.  규칙은 단 하나!  각 자리수 마다 그 숫자를 제외하고 아무런 숫자로 바꾸면 되는겁니다.

예를 들어  0.123 이면 첫째자리는  1빼고 아무거나, 둘째자리는 2빼고 아무거나, 셋째자리는 3빼고 아무거나

0.245, 0.369, 0.531  이렇게 아무거나 다되지만  0. 134, 0.324 , 0.453, 0.124 이런건 안되는 거임!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

짜잔 그러면  새로 생긴 0.746894310875......는

 

 

 

 

 

 

수학자: 헐!  그 어떤 숫자든 적혀있는 숫자와 최소한 한자리는 다르겠네요!

 

 

 

 

칸토어: ㅇㅇ 실수는 자연수와의  일대일 대응에서 최소한 한개의 예외라도 찾아낼수 있으니 일대일 대응이 아님!

고로  '실수는 자연수보다 개수가 많음!'

 

 

 

 

 

 

 

칸토어: 정리하자면   개수는  자연수=정수=유리수< 실수

 

 

 

 

수학자: 와...... 진짜 신세계다. ㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷ  님 진짜 천재네요 ㄷㄷㄷㄷㄷㄷ

 

 

 

 

 

칸토어: ㅎㅎ ;; ㅋㅋ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

시민: 아 근데 님, 질문 있어요!

 

 

 

 

칸토어:?????

 

 

 

2부에 계속

 

 

(쉽게 풀어쓰느랴 비전문적인 내용이 가미되거나 엄밀한 사실이 곡해되었을수도 있습니다. 양해바랍니다)

 

 

 

 

사실 예전에 올렸던건데  많이 봐줬으면 좋겠다는 의미에서 다시 한번 올림