때는 중세 유럽
갈릴레오: 님들아 님들아!!
시민1: ?
갈릴레오: 내가 방금 개쩌는거 알아냄 ㅋㅋㅋㅋㅋ. 자연수와 제곱수의 개수가 같은거 앎?
시민1: ???
갈릴레오: 자 한번 봐봐
이렇게 1은 1과 , 2는 2의제곱인 4와, 3은 3의제곱인 9와....
이렇게 예외없이 무한히 일대일대응시킬수 있잖아
그럼 둘이 개수 같은거 아님????
시민1: 어..... 그런가?
시민2: 뭐래 저새끼 말 무시하셈. 저새끼 지구가 태양 주변 돈다고 주장하는 개빡대가리임 ㅋㅋㅋㅋ
시민1: 아 그래요? ㅋㅋ 그게 말이 되겠냐 등신아? 어? 문과인 나도 안다 으휴
갈릴레이: ㅠㅠㅠ
때는 시간이 흘러흘러 300년 후
칸토어: 내가 연구해보니까 갈릴레이 말이 맞는듯
수학자: ??? 약주하셨어요?
칸토어: ㄴㄴ. 무한은 유한이랑 달라. 개수를 비교하는 방법도 유한이랑 다르게 정의해야 해.
칸토어: 내가 정의를 새로 내리겠다. '무한집합끼리 서로 일대응 대응이 가능하다면 그 집합끼리의 원소의 개수는 서로 같다!'
시민: 한국말로 좀 ;;;
칸토어: 자 이 밑의 그림을 봐봐.
이렇게 서로 예외없이 두 집단을 짝지어 줄 수 있지?
이걸 일대일 대응이라고 함.
그리고 두 집단의 일대일 대응이 가능하다면
두집단의 크기가 같다는거임!
단 두 집단의 크기가 각각 무한할때만!
수학자: 그 정의에 따르면 갈릴레이의 말도....
칸토어: ㅇㅇ 맞음. 제곱수의 개수와 자연수의 개수는 같음!
갈릴레이가 주장한건 역설이 아니였던거임 ㅋㅋ ( 그 당시까지는 갈릴레오의 역설이라고 불렀다.)
시민: 헐 대박
칸토어: 이런 논리로 대응시켜보면 짝수와 자연수의 개수도 같음!
시민: 아니 짝수는 부분이고 자연수는 전체잖아요. 부분과 전체가 같을 수 있어요?
칸토어: 무한의 세계에선 가능하답니다 ㅎㅎ. 그리고 또 퀴즈, 자연수와 정수의 개수는 같을까?
수학자: 정수가 더 많지 않을까? 정수는 음수와 0이 있으니까...
칸토어: ㄴㄴ 둘이 개수 같음 ㅋㅋ
자 1을 제외한 짝수는 양수, 홀수는 음수에 대응시킨다는 규칙으로 대응시켜 나가면...
수학자: 헐! 일대일 대응이 되네! 그렇다면 정수와 자연수는....
칸토어: ㅇㅇ 정수와 자연수의 개수는 서로 같음! 직관적으로는 받아들이기 힘들겠지만 ㅎㅎ
수학자: 그럼 질문 있습니다. 자연수와 유리수의 개수는 서로 같나요?
시민: 에이 아무리 그래도 그렇지, 1/5 , 0.4324 이런걸 자연수랑 어떻게 대응시켜요 ㅎㅎ
칸토어: ㅎㅎ 과연 그럴까요? 자, 유리수의 정의가 뭐지?
수학자: 정수/정수 로 나타낼수 있는 수요.
칸토어: ㅇㅇ 그럼
표를 그려봅시다.
자 이렇게 가로축의 숫자는 분모, 세로축의 숫자는 분자에 넣는다는 규칙으로 이렇게 표를 쭈욱 그려봅시다.
이 다음에 이 칸에다 순서대로 자연수를 채워보면
짜잔!
칸토어: 1은 1에, 2는 1/2에, 3은 3에, 4는 1/3에..... 이렇게 일대일 대응이 가능함!
즉 양의 유리수와 자연수의 개수는 같음!
부호가 바뀌어도 이 관계는 동일할테니 음의 유리수와 음수의 개수는 같음!
0은 0에 대응 시키면 되니 결론은.....
수학자: 헐! 유리수와 정수의 개수는 같네!
칸토어: ㅇㅇ 자연수와 정수의 개수는 같고, 정수의 개수는 유리수의 개수와 같으니.....
시민: 하핫 이건 문과인 제 전문이네요 ㅎㅎ 삼단논법에 의거, 자연수와 유리수의 개수는 같다!
시민: ????? 헐 시발
칸토어 : 제곱수의 개수= 짝수의 개수=홀수의 개수 = 자연수의 개수 = 정수의 개수 = 유리수의 개수 ㅇㅇ
수학자: 헐 쩐다. 이런걸 어떻게 생각했어요?
칸토어: 그러니까 천재죠 ㅎㅎ
수학자: ;;
칸토어: 여기서 끝난게 아닙니다! 자연수가 많을까요? 실수가 많을까요?
시민: 아 몰라요;; 유리수랑 개수 같은거 보니 실수랑도 개수 같지 않을까요?
칸토어: 그건 계속 생각해봐도 모르겠어서 개수가 같다고 가정하니까 모순이 생기더라고요.
전문 용어로 귀류법이라고 하죠 ㅎㅎ
자 먼저 0과 1 사이의 실수와 자연수가 일대일 대응된다고 가정해봅시다.
그리고 아무런 실수나 써서 대충 대응시켜 봅시다. 이렇게
그리고 대각선에 적혀있는 숫자만 모아서 또다른 수를 만들어 봅시다.
칸토어: 그다음에 이 숫자를 변형시켜 봅시다. 규칙은 단 하나! 각 자리수 마다 그 숫자를 제외하고 아무런 숫자로 바꾸면 되는겁니다.
예를 들어 0.123 이면 첫째자리는 1빼고 아무거나, 둘째자리는 2빼고 아무거나, 셋째자리는 3빼고 아무거나
0.245, 0.369, 0.531 이렇게 아무거나 다되지만 0. 134, 0.324 , 0.453, 0.124 이런건 안되는 거임!
짜잔 그러면 새로 생긴 0.746894310875......는
수학자: 헐! 그 어떤 숫자든 적혀있는 숫자와 최소한 한자리는 다르겠네요!
칸토어: ㅇㅇ 실수는 자연수와의 일대일 대응에서 최소한 한개의 예외라도 찾아낼수 있으니 일대일 대응이 아님!
고로 '실수는 자연수보다 개수가 많음!'
칸토어: 정리하자면 개수는 자연수=정수=유리수< 실수
수학자: 와...... 진짜 신세계다. ㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷ 님 진짜 천재네요 ㄷㄷㄷㄷㄷㄷ
칸토어: ㅎㅎ ;; ㅋㅋ
시민: 아 근데 님, 질문 있어요!
칸토어:?????
2부에 계속
(쉽게 풀어쓰느랴 비전문적인 내용이 가미되거나 엄밀한 사실이 곡해되었을수도 있습니다. 양해바랍니다)
사실 예전에 올렸던건데 많이 봐줬으면 좋겠다는 의미에서 다시 한번 올림
오쌍
ㄹㅇ 개소리 같은데 진리임?
수학잘하고싶다
진리라기 보단 학자들이 일반적으로 받아들인다고 보는게 맞을듯. 물론 소수의 안 믿는 학자도 있다 카더라
비속어양해를구해야해
문과인데 학교에서 배움
Aowmi
0.7468~~~ 이 실수 나온게 1000번째 숫자 중에 구한 다른 숫자엿음 이 0.7468을 1001번으로 일대일대응 시킴 되자나 먼 갸소리야 이게 니가 설명을 똑바로 못한거냐 이론이 ㅂㅅ인거냐
수학잘하고싶다
니가 이해를 못한거지....
너가 말한건 유한에서나 적용 될 법한 소리임
가령 너말대로 0.7468~ 1000번째 숫자중에 구한
다른 숫자였으면 1001번째 어떤숫자랑 대응시킨다
친다면 위의 규칙을 이용해 1001번째 까지의 숫자랑
대응하지 않는 1002번째 새로운 숫자를 만들어 낼 수 있음. 1조개를 대응시키면 1조1번째 새로운 숫자를
만들수 있음. 이런식으로 계속 뻗어나가면?
N개와 N개를 대응시키면 언제나 대응되지 않는
N+1번째의 항이 남겠지?
그래서 일대일대응이 성립하지 않는다고 하는거야
Aowmi
뭔소리야 그럼 유리수도 그에 해당안되는 분모를 구하면 일대일대응 성립 안되자나
수학잘하고싶다
유리수는 아무것에도 해당 안하는 분모 자체가 없지
위의 표가 무한히 뻗어나간다고 생각해봐
자연수를 전부 못채워넣는 예외를 찾을수있니?
Aowmi
아니 그럼 실수가 1조1개번째 새 숫자를 찾으면 자연수 1조1이랑 대응하면 되자나 둘 다 어차피 무한인데 왜 대응을 못 시켜
수학잘하고싶다
그니까 ㅋㅋ 자연수 N개를 실수N개와 대응시켜도
무조건 N+1번째의 실수가 튀어나오겠지?
자연수 무한개를 실수 무한개와 대응시켰는데
띠용? 실수 한개가 더 튀어나오네?
그래서 같은 무한이지만
자연수의개수<실수의 개수
무한이라 살짝 반직관적일수도 있어
수학잘하고싶다
내가 정의를 새로 내리겠다. '무한집합끼리 서로 일대응 대응이 가능하다면 그 집합끼리의 원소의 개수는 서로 같다!'
칸토어가 내린 정의가 바로 이거임.
이말을 좀더 풀어 말하면 일대응대응이 어떻게든
가능하다면 그 집합끼리의 원소의 개수는 같다라고
보는거임.
자연수와 실수는 어떻게 하든 일대일대응이 불가하고
자연수와 유리수는 수많은 대응꼴 중에
일대일대응이 성립하는꼴이 있으니
개수가 같다고 하는거지
한번 더 천천히 생각해봐
Aowmi
왜 불가능해 아오 하나 더 튀어나옴 자연수도 하나 더 튀어나옴 되지 먼 설명 개못하네
수학잘하고싶다
너만 이해 못하는거보면 설명하는 사람의 문제는
아닌것같은데 ㅋㅋ
저번에 올렸을때도 이런 반응은 한명도 없었고
꼬우면 그냥 다른글을 찾아서 읽어보도록 하거라
한글로 된 걸 읽든 영어로 된 걸 읽든
태도가 개좆같아서 더이상 답변안한다
내가 니 과외선생이냐? 앞으로 물어보려면
돈내고 물어보도록
Aowmi
이해됏다는 댓글 한 명도 없는데 설명 못하니까 정신승리 시전하네 ㅋㅋㅋㅋ 노답 수준 ㅋㅋㅋㅋ 이 새기도 이해 못하고 걍 학교에서 외우라니까 외운듯 ㅋㅋㅋㅋ
수학잘하고싶다
응 느금마
빡대가린 안읽어도 된다 ㅗ
Aowmi
응 지도 이해 못하고 인터넷에서 설명 긁어와서 추천 쳐먹으려는 극혐 ㅅㄲ 제발 쓰레기글 양산하지 말고 꺼져
수학잘하고싶다
네다음빡대갈
Aowmi
자소즐 ㅋ
댕떼닥추
Aowmi
왜 튀어나오냐고 그니까 튀어나오는 이유가 띠용이냐?
댕떼닥추
Aowmi
우리 빡대가리씨는 국어교육을 유치원단계에서 그만둬서 왜 라는 말의 뜻을 모름?
댕떼닥추
Aowmi
다른 건 다 안 남는데 왜 실수만 남냐고 이 유치원생보다 멍충한 시끼야
댕떼닥추
Aowmi
니도 이해 못해서 이렇게 빡대가리 인증하고 있는거잖아 이해했음 설명해봐
댕떼닥추
Aowmi
ㅋㅋㅋ 설명하라니까 바로 말 돌리죠~~ 저게 뭐지? 하고 봤는데 까만건 숫자고 하얀건 배경이죠~ 유졸 대가리 감당안되죠~
댕떼닥추
Aowmi
ㅋㅋㅋ 아 시발 ㅈ됏다 입 존나 털어놧는데 저게 먼 개소리인지 도저히 모르겟다 와 시밤 야동 고를 때보다 더 대가리 써보긴 처음이다 시발 아는척 존나 햇는데 시발 이 위기를 어케 넘기지 와나 시밤 안되겟다 어제 아빠한테 들은 말 써야 겟다. 필살 꼰대빔!!!!
댕떼닥추
Aowmi
그래 이제 그만 정신차리고 초등학교 1학년 슬기로운 생활부터 차근차근 공부해라 부모님 속 좀 그만 썩히고 ㅅㄱ
댕떼닥추
Aowmi
요새는 먼데?
댕떼닥추
Aowmi
알앗어 정신승리 끝났으면 가봐~ 내일부터 초1 교과서 사서 공부해~~ 수고~
댕떼닥추
Aowmi
이 새기는 멍청하기만 한 줄 알았더니 멍청함보다 찌질함이 더 하네 댓 계속 달고 정신승리 열심히해라 ㅅㄱ
방구석대법관
쟤도 댓글을 너무 공격적으로 달았지만, 니 설명이 많이 부족한 것도 맞음. 애초에 저 부분 자체가 자세히 설명하려면 너무 장황해지게 되는 내용이라 어쩔 수 없음. 게시글 본문과 니가 단 댓글 모두 설명 안 하고 얼렁뚱땅 넘어가는 부분들이 너무 많네. 난 쟤가 이해 못하는 부분이 어떤 부분인지 알겠는데, 이게 그냥 댓글 몇줄로 설명할 수 있는 내용이 아님.
수학잘하고싶다
초한기수 개념 자체가 반직관적이고 어려운 개념인지라
최대한 본문으로 채우데 부족한게 있으면 댓글로 알려주려했지.
다만 처음부터 욕박으면서 윽박지르는 놈 한테는
알려줄 의향 없음
땡전 한푼 안내는 주제에 공짜로 글 읽고 화까지
내는 놈은 뭐 나도 똑같이 응대해야지 뭐
안그래?
댕떼닥추
수학잘하고싶다
ㅇㅇ 맞음
Aowmi
니도 니도 이해 못하는 수학글 올리지 말고 댕떼 같은 놈 위해 유딩용 한글글이나 올려라 ㅋㅋ 띠용!? 이 것은 기역이에요 ㅇㅈㄹ하면서 ㅋㅋㅋㅋ
Aowmi
수학 하라니까 국어하고 있네 ㅋㅋㅋㅋ 읽기글이냐? 본문 내용 그대로 말하고 맞아? 라고 왜 물어봄 ㅋㅋㅋ 내가 한글 잘 읽는거 맞아? 물어보는거? 개웃기네 ㅋㅋㅋㅋ
댕떼닥추
Aowmi
그래 이제 한글 뗐으니 2학년 과정으로 넘어가라 ㅅㄱ~
댕떼닥추
Aowmi
그래 그럼 요새는 초딩이 아니라 유딩이 니보다 똑똑하겠구나
왈라비
ㅈㅂ임
gogogog
무한집합의 농도는 설명하기 좀어려울듯
혼자노는원시인
이런거 알면 어따씀 거의 철학같은데
엮이고 엮여서 영향을 주는것같기도 하고