카이지 작가의 작품 도박패왕전 제로 中

 

주인공 제로는 천억 엔이 걸린 두뇌 게임에 참가하는, 작품 설정상 인류 최상위의 천재다

그는 마녀의 방이라는 게임에 참가해서 퀴즈를 풀고 동료들을 살려야 하는 위기에 빠져있다

 

마녀의 방에서는 마녀가 내는 퀴즈를 맞추면 살고,

맞추지 못 하면 사방에서 조여오는 창에 의해 몰살 당한다는 규칙이 있다

이 때 마녀가 낸 문제는, 루트2의 소숫점 9자리, 10자리를 구하라는 것이었다

 

 

일본에서는 루트2의 소숫점 8자리까지 외우는 노래가 있다고 한다

아쉽게도 참가한 동료 중 9자리, 10자리까지 외우는 사람은 없었기 때문에

제로는 직접 계산을 통해 9자리, 10자리를 알아내는 방법을 택한다

 

하지만 어떤 수의 제곱을 구하는 것에 비해, 제곱근을 구하는 것은 훨씬 더 어렵다

먼저 제로가 사용한 방법을 알아보자

 

 

 

 

제로가 말한 덧셈 계산법은 이렇다

 

 

가장 간단한 완전제곱식으로부터 시작한다

제곱해서 2에 가깝지만 2가 되지 않는 수,

예를 들어, 작품에 나온 1.41421356 을 선택한다

그보다 큰 1.414213561을 제곱해 보면서 2와 크기를 비교한다

 

1.414213561의 제곱을 구한다는 것은,

소숫점을 무시하면 1414213560 에 1을 더하고 제곱하는 것과 같다

즉, 원래 있는 1414213560의 제곱값에, 2a+1 을 더한 값이 제곱값이 된다

여기서 a는 물론 1414213560이다

이렇게 구하면 곱셈 문제에서 덧셈 문제가 되기 때문에 확실히 계산이 쉬워지긴 한다

 

하지만 일일이 2에 접근할 때까지 계산을 반복해야 한다는 단점이 있다

적어도 슈퍼컴퓨터가 제곱근을 구할 때, 이런 주먹구구식의 계산을 사용할 것 같지는 않다

 

 

우리는 뉴턴 센세의 미적분을 이용해서 더 좋은 방법을 강구할 수 있다

참고로 이 방법을 뉴튼-랩슨 방법이라고 한다

 

그래프 f(x)가 주어지고, 해 x를 구하려고 할 때,

x에 가까운 근삿값 x_n을 알고 있다고 하자

만약 그래프에서 그은 접선이 위와 같은 모양이 된다면, 미분을 이용해서 x_n보다 더 x에 가까운 근삿값을 찾을 수 있다

 

이 공식을 이용해 바로 루트2의 근삿값을 구해보자

루트2의 값이 구하는 해 x가 되어야 하니까

f(x)는 이렇게 잡는 게 좋겠다

 

 

위 식에 대입해서 점화식을 구하면 

 

 

즉, 근삿값의 1/2 더하기 근삿값의 역수가 그 근삿값보다 루트2에 더 가깝다는 말이 된다

이 공식이 잘 적용되는지 확인해 보자

 

1.414로 시작한다

계산기로 계산하면, 1.4142135785... 값이 나온다

벌써 소숫점 7자리까지 일치한다

 

1.4142135를 넣어보자

1.41421 35623 73096... 이 나온다

루트2의 값이 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 ...

이므로 소숫점 14자리까지 일치하는 것을 볼 수 있다

 

이런 식으로 계산하면, 작품 속에서 제로가 사용한 단순 덧셈보다 훨씬 빠르게 소숫점을 구할 수 있다

물론 역수로 나누는 계산이 어렵긴 하지만, 한 번만 계산하면 구하고자 하는 9자리, 10자리까지 계산할 수 있다는 면에서

훨씬 정확하고 빠른 계산이었을 것이다

 

 

 

ㅉㅉ