우리는 고등수학에서  자연상수e가 무리수라고 배운다.

대학레벨에서도 e가 무리수임은 별 증명없이 받아들이고 넘어간다

그런데 왜 e가 무리수일까?

귀류법을 써서 증명해보자.

e가 유리수라고 가정하자

e는 테일러 전개에 따라 저렇게 쓸 수있다.

이제 양변에 p!를 곱해보자

이 때 괄호친 부분을 살펴보자.

괄호친 부분에 들어가있는 모든 수는 정수이다.

왜냐하면 p!= 1 x 2 x 3.......p 인데

p보다 작은 팩토리얼, 예컨데 3!으로 나누면

4x5x6......p 가 된다. 

그렇기 때문에 p!/1 부터 p!/p!까지는 전부 정수이다.

그러면 나머지 항은?

직관적으로 1보다 작은 소수꼴이 나올것같다. 그렇지만 나머지항의 합도

소수라고 예단해선 안된다.

왜냐하면 소수의 무한합이 정수가 나올때도 있기 때문이다.

다음과 같이 식을 세워보자

각각의 항을 소거하여 만든 두번째 줄의 식은

세번째 줄의 식보다는 무조건 작거나 같다.

왜냐하면 분모가 무조건 더 크거나 같기때문이다. 

그리고  0<ㅣ(1/p+1)ㅣ<1 이니

세번째 줄을 무한등비급수의 합으로 나타내면 1/p 이 나온다.

그런데 1/p은 1보다 무조건 작다.

따라서 p!/p! 보다 큰항들의 합은 1보다 작은 소수이다.

이 합을 A 라고 놓자

증명완료