밑에 직관으로 때려맞춰서 푸는 법이 올라왔으니까

 

ㄹㅇ 교과서적으로 푸는 법 한 번 써 봄

 

 

 

가장 중요한 전제는 정규교육과정에 합성함수의 그래프 그리는 법은 없다. 특히 이런 지수함수랑 다항함수랑 섞인 것은 정규교육과정상 못그린다.

 

그렇다면 우리는 어떻게 접근해야할까?

  

정답은 f(g(x))=h(x)꼴이다

 

우선 문제를 읽어보자

 

사차함수 f(x)를 하나 주었다. 최고차항의 계수는 1/2이다. 최솟값은 무조건 0이

다

그 외에 주어진건 없으니 착한 수험생들은 이 문제를 사차함수의 추론문제로 이해해야만 한다

 

그 다음 g(x)가 보인다. 문제에 쓰여있으면 우선 g'(x)한 번 구해보는 것도 나쁘지 않다. 어지간하면 쓸데가 있다.

 

 

 

오케이

 

이제 그래프를 그려야지. 도함수는 x=0과 x=4에서 기울기가 0이다

 

대충 이런 모양이겠지?

 

그러면 0이하로는 내리막이고... 0에서 4까지 오르막.. 4에서 극대... 4이상에선 계속 내리막길

 

그리고 g(x)를 무한대, 마이너스 무한대로 보내보면 g(X)의 그래프는 

 

일케됨

 

여기까지가 문제만 읽어서 나오는 정보임

 

 

 

자 이제 주어진 보기를 보면

 

 

 

가) f(g(x))=0의 서로 다른 실근의 갯수는 4이다

 

경우나누기 해야한다

 

이번에는 사차함수 그래프의 개형으로 경우를 나눠야한다

 

 

그리고 다 때려넣어봐야지

 

스포하는데 123은 모순이다. 이유를 알려줄게

 

a를 4차함수와 x축의 접점이라고 우리끼리 약속하고

 

f(a)=0

g(x)=a로 접근해야한다

 

즉 g(x)의 그래프와 y=a 를 만드는 점이 네 개 인가?

 

그래프에 쭉쭉그어봤다

 

 

 

ㅇㅇ 뭔지랄을 해도 a가 한개면 실근 x 4개가 안나옴

 

즉 우리는 이 작업을 통해 사차함수 f(x)는 a와 b 모두 x축에 접해있는 선대칭형의 그래프를 가진다. 를 논리적으로 유추해냈다

 

자 이제 그래프의 접점 a와 b를 생각해봐야된다. 언제나 명심하자 이 문제는 합성함수를 구하는 문제가 아닌 사차함수 f(x)를 구하는 문제라는 것을

 

 

 

 

자

 

이게 g(x)그래프 위에서 총 네 개의 접점을 만드는 방법임

어쨌든 g(4)아래에 한 점이 있고

 

0에 한 점이 있느냐, g(4) 초과에 한 점이 있느냐임 우선 이렇게 해서 보기 가를 풀어봤음

 

 

 

이제 나)할 차례다

 

나는 h(x) = 0 에서 극소다임

 

f(x) 그래프보고 판단하는 허접은 없겠지?

 

없을거라 믿고, h(x)가 한 점에서 극소이려면 어떤 조건을 만족해야할까?

 

h'(x)가 한 점에서 0이어야되고

 

그 점 미만에서 음의 부호를 가지고, 그 점 초과에서 양의부호를 가지게 되면 정의에 도함수로 극소점을 정의할 수 있겠지?

 

간다

 

 

0에선 

가 0이니 0 맞지?

 

그러면 이제 0의 좌극한에서 음수가 나오면 된다.

 

x가 0-로 갈 때, y는 0+로 가고

 

 

 

x가 우극한으로 바뀌어서

 

lim f'(x)

x->0+           로 가는거지?

 

그리고 y= f'(x)의 그래프는 

 

실수세계에서 양수가 되니 까

 

                  양수  * 음수 

 

h'(x)의 좌극한이 음수가 되는거지

 

이게 a가 0일 때의 사차함수 경우고

 

a가 0이 아니면 안되는 이유 또한 위의 도함수 그래프에서 생각해낼 수 있음

 

 

 

음수가 돼서 

 

                음수*음수라서 좌극한이 음수가 될 수 없기 때문에!

 

그래서 우린 나) 를 통해서 사차함수의 그래프와 식을 일부 유도해낼 수 있었다!

 

 

 

 

다)

 

다 왔는데 다가 좀 빡칠 수 있음

 

나까진 솔직히 정의 정의 정의 정의하면 나오는데 다는 더 생각해야됨 

 

h(x) = f(g(x)) = 8의 서로 다른 실근의 갯수가 6개임

 

가에서 했던대로 이렇게 접근해 보는데, 이번엔 y=f(a) = y=8이라는 직선의 위치랑도 같이 봐보자

 

f(a) = 8

g(x) = a

 

만약 y = 8이 이런 모양으로 있다면 어떨까

 

g(x)는 그럼 네 개의 근을 가져야지? 음근 1 양근 3 

 

그 중에 b 미만의 양근이 2개가 있어야돼. 이해 ㅇㅋ?

 

g(x) = 음수

 

g(x) = 양수

 

g(x) = 양수

--------b-------------

g(x) = 양수

 

자자자 그러면 g(x)그래프를 보면

 

 

 

 

 

며용? 근이 최소 7개가 되네?

 

그렇다면!

 

만약 8이 f(b/2)라면!

 

 

 

 b 아래에 하나, b 위에 하나라고 하면 가능성이 생기는거지

 

똑같은 방식으로 저 위에 2점에서 만나게 하면 6점이 안생기니까 절대불가능한거고

 

그러면 모든 경우를 지워버리면 이 방법 밖에 안 나오고

 

b/2가 f(x)의 극대점이고, f(b/2) = 8

 

 

에 b/2를 쑤셔넣으면 

 

 

이 나오고

 

b^4 = 16*16이고 b는 양수여야만 하니 b는 4

 

 

미분하고 대입하면 끝남

 

 

 

이렇게 풀 때 단점 - 시간이 오래걸린다. 푸는 법에 대한 훈련이 필요하다.

 

장점 - 논리적으로 풀기때문에 답이 존나게 확실하게 나온다