경고) 당신이 고3이나  N수생이면 이거 볼 시간에 컴퓨터 끄고 공부하세요.

수능을 이미 친 사람이나 고2이하 급식들을 위한 글입니다.

 

 

이번 9평을 분석해보자면  킬러는 없고, 비킬러에 난이도를 빡세게 준 시험이라고 본다.

비유하자면

중중중중중상최상최상,최최최최상이 아니라

 

중중상상상상상상상최상  정도 ㅇㅇ

 

개인적으로 30번보다 21번이 더 어려운 문제라고 본다.

2016 6월 30번과 같은 유형인데 그냥 여러가지 그림 그려놓고 그중에 하나 때려 맞추는 놈이

맞는 문제다.

 

그래서 이번 30번을 리뷰해보고자 한다.

30번은 당연히 오답률 1위고

정답률은 EBS 추정  8.5% 정도 된다. 

 

 

 

자 문제를 보자

 

 

 

 

(해답을 보기전에 미리 풀어보고 아래와 비교해 보는걸 권합니다.)

 

 

보자마자 어떻게 풀 생각을 하였는가?

합성해서 미분?

그럼 '넌 이미 틀려있다.'

이 문제는 미분 안하고 풀 수있다.

 

자 먼저 g(x) 를 그려보자

 

g(x)를 미분한다음에 극소점을 찾아서 풀려고 한다면 당신은 하수,

엄밀한걸 추구하는건 학문으로서의 수학을 할 때고, 이건 입시수학이다.

그냥 감으로 그리자

 

 

이렇게 x^4 와 e^-x를 그리자.

자그럼  2x^4 * e^-x 는 어떻게 구할까?

 

일단 영점을 기준으로 왼쪽부터 보자

두 그래프를 곱하면 무한이 될 것이다.

 

그런 오른쪽은?  x^4는 늘어나는데 e^-x는  줄어드니

곱하면 점점 수가 줄어들 것이다.

그리고 문제에 리미트 x가 무한으로 가면 g(x)=0 이라고 친절하게 나와있다.

결국 0을 기준으로 왼쪽으로 갈수록 점점 늘어나고

오른쪽으로는 잠깐 위로 솟았다가 다시 0으로 가까워지는 그래프가 될 것이다.

 

이렇게.

그리고 미분해서 증감표 그려도 실제로 이렇게 나온다.

어떻게 확신하냐고?

그냥 그렇다. 적어도 당신이 고등과정에서 배우는 함수는 모두 이렇게 주먹구구식으로 정확히 그릴 수 있다.

어쨋든 저 g(x)를 f(x)에 합성해야 한다. 

근데 합성함수를 간단히 그리는 법을 우리는 이미 고1때 배웠다.

합성해서 미분해도 되지만, 그렇게 한다면 한나절은 걸릴것이다.

그러니 이제 그냥 그려보자.

 

 

혹시나 기억이 안날 수도 있기 때문에,

만약 당신이 저 그래프를 합성한다고 해보자.

왼쪽은 f(x)고 오른쪽은  g(x) 라 할때  g(f(x))는 뭘까?

범위 나눠서 미분하고 지랄하기 보단 고1때를 복기해 보자.

그땐 어떻게 했을까?

 

 

이렇게 증감표를 그려보자.

x가 0에서  1/2 에서 1까지 가는동안

f(x)는 0에서 1까지 증가했다, 다시 0으로 감소한다.

그러면 g(f(x))는  g(0)에서 g(1)까지 그려진 다음에 다시  g(0)으로  되돌아간다.

즉

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이렇게 그려진다.

똑같은 모양 한번 그리고 , 또 한번은 좌우 대칭해서 복붙한꼴로 그린 것이다.

이것이 바로 우리가 고1때 배웠던 합성함수 그리는 법이다.

 

 

자 이제 우리가 아까 봤던 그래프를 보자

 

 

 

 

이렇게 나타낼수 있다.   k는 극대점이다.  k는 굳이 안구하겠다.

왜냐하면 안구해도 풀 수있기 때문이다.

 

자 이제 f(x)의 개형을 추측해보자.

 

일단 문제에 따르면  f(x)는 최고차항의 계수가 양수이고

최솟값은 0이다. 

일단 최솟값이 0이라는것에 주목해보자.

만약  f(x)=0 의 근이 한개라면?

합성함수 h(x)=0의 근이 네개인데

h(x)는 우리가 f(x)를 적절히 복붙해서 만들것이다.

근데 근이 한개라면 무려 네번이나 복붙해야 하는데

아까 g(x)를 관찰한 결과 결코 그렇게 될 수 없다. 

왜냐하면 방향을 겨우 두번 바꾸기 때문이다.

근이 두개 보다 더 많으면 최솟값이 0이라는 전제와 모순이다.

따라서 근은 무조건 두개다.

 

 

 

 

대충 이렇게 생겼다는데  만약  저렇게 생겼다면 h(x)가 0에서 극소일수 있을까?

 

 

 

이렇게 그려보면  x=0에서 극대를 가진다는것을 확인할 수 있다.

고로 

 

 

이렇게 x=0에서 근을 가지고 중근을 가져야 한다는 것을 간파할 수있다.

 

그리고 (나) 조건에서 h(x)=0 인 근을 네개 가져야 하고

그리고 (다) 조건에서 x=8에서 근을 6개 가진다고 했다.

 

이를 종합해보면

이런꼴 외에는 그려질 수 없다는 걸 알 수있다.

우리는 참고로 g(k)가 뭔지 모른다. 다만 g(k)>0 이기 때문에

합성함수 두번째 구간에서 f(x)의 정의역이 특정양수로 갔다가 다시 0으로 간다는것 만 안다.

하지만 근이 네개 있으려면 

적어도 g(k)는 f(x)에서 x=0이 아닌 다른 해 보다는 커야 함을 알 수있다.

그래야 근이 네 개 생기니까.

 

 

이쯤 되면 사실 y=8이 f(x)의 극대값과 만나야 함을 눈치 깔 수 있겠지만

그래도 혹시 모르니 세가지 경우를 나눠서 따져보자

 

g(k)가  f(x)의 빨간선이 만나는 해중 가장 큰 해 (편의상 R이라고 하겠다.)

보다 작을때, 즉 R보다 작을 때

어떻게 Y=8을 잡든  만나는 점은 결코 6개가 안나온다.

 

같을 때도 마찬가지

 

오로지 g(k)가 R보다 클 때만 만나는 점이 6개가 나오는걸 확인 할 수있다.

 

그렇다!   f(x)는 x=0에서 중근을 갖고, 극대값이 8인 그래프이다.

 

이제 그래프를 구해보자.

최고차항의 계수는 1/2 이다.

그리고 중근을 두개 가지는 사차함수는 극대값은 가장 큰 근과 작은근의 중점이라고 알려져있다.

혹시 이를 몰랐어도 푸는덴 전혀 지장없다.

그냥 미분해서 극대값 구해서 풀어도 되고, 아니면 x^2(x-a)^2의 꼴을 보고 

x=1/2a 대칭이라고 직관적으로 사고해도 된다.

단지 저 계산법이 가장 빠를뿐이다.

그뒤 f프라임 5 계산하면 답은 30

 

 

너무 직관적인 풀이가 아니냐고 반문 할 수있겠지만

역대 수능,평가원 기출문제의 출제방향은 전부 이런식의 사고를 허락해왔다.

만약 의심되면 다시 차근차근 엄밀하게 재검토하면 될 일이다.

물론 수학영역을 푸는 수험생에게 그런 시간따윈 없을것이니

그냥 이렇게 푸는게 더 났다.

당신이 최상위권 의대를 노리지 않는 이상 30번은 맞으면 이득이지만 틀려도 손해는 아닌 문제니까.