1편 - http://www.dogdrip.net/148655972

2편 - http://www.dogdrip.net/148998663

안녕! 전편에서는 복소수를 행렬표현으로 나타내봤어.

이런식으로 말이지.

여기서 잠깐 전편의 보충으로 짤막하게 복소수의 행렬표현을 조금 더 얘기해보고 이번 편의 이야기로 넘어가자.

임의의 복소수 를 행렬 로 대응시킬 수 있다고 했어. 여기서 대응된다는 얘기는 이것도 결국 함수라는 얘기야.

그렇다면 이 함수의 역함수는 행렬을 복소수에 대응시킨다고 할 수 있겠지. 단, 모든 행렬을 복소수로 대응시킬 수 있는 건 아니고 여기서 말하는 행렬이란 다음과 같은 모양의 행렬을 말해.

그래서 어떤 행렬이 위의 형태가 될 수 없으면 그 행렬은 복소수로 대응시킬 수 없어. 사실 당연한 얘기야. 원래 함수가 

위와 같은 함수였고 치역에 해당하는 행렬의 형태가 이미 저런 식으로 정의돼 있으니까, 역함수의 정의역의 조건도 저렇게 되어야 하는게 당연해.

근데 당연한 얘기는 잠시 뒤로 미뤄두고 여기서 조금 더 일반적으로 생각해보자. 왜 모든 행렬이 복소수로 바뀔 순 없는걸까?

전편에서 허수 i를 행렬 I로 대응시켰을 때

가 성립한다는 것을 알았어.

그럼 반대로 생각하면 위 식을 만족하는 행렬 I를 허수 i에 대응시킬 수 있지 않을까?

그런데 조금 생각해보면 위 식을 만족하는 행렬 I는 무수히 많다는 걸 알 수 있어.

예를 들자면  같은 행렬도 I가 될 수 있지. 제곱하면 -E가 나오거든.

결국 행렬 집합(정의역)의 여러 원소들(위 식을 만족하는 모든 행렬들)이 복소수 집합의 하나의 원소 (허수 i)에 대응되는 꼴이다 보니까 이 함수의역함수가 존재할 수가 없어. 즉 허수 i를 표현하는 행렬이 셀 수 없이 많아지게 돼서 행렬로 나타내는 게 아무 의미도 없어져. 결국 모든 행렬을 복소수로 대응시킬 수는 없고 특정한 형태로 정해놔야 복소수를 나타내는 행렬로서의 의미가 온전해진다는 말이야.

이제 이 행렬의 덧셈 곱셈이 복소수의 어떤 연산과 대응되는지 알아보자. 설명은 따로 안할게 식만봐도 이해가 될거야.

이건 전편에서 얘기했어야 되는건데 까먹었네 ㅋㅋ;

덧셈

곱셈

반대로 복소수의 덧셈, 곱셈의 결과도 행렬의 덧셈 곱셈으로 대응시킬 수 있겠지?

그러면 행렬표현에 대한 보충은 여기서 마무리하고 이제 이번편의 이야기로 넘어갈게 ㅋㅋ 너무 길었네 미안!

이번 편에서는 복소수의 크기와 켤레복소수, 복소수의 역수, 그리고 이들을 행렬표현에서는 어떻게 생각할 수 있을지 알아볼게. 그리 어려운 내용은 아니야.

내용이 점점 산으로 가고 있는 것 같지만... 이건 전부다 나중에 사원수에 대해서 얘기할 때 필요한 것들이야. 사원수는 회전과 떼어 놓을 수 없는 수라는 건 여기까지 재밌게 읽어준 개드리퍼라면 다 알만한 사실일거야! 아무튼 시작할게.

먼저 임의의 복소수 의 크기는 다음과 같이 정의돼.

기하학적인 의미로 생각해본다면 복소평면에서 원점부터 복소수 z까지를 잇는 선분의 길이라고 생각할 수 있어.

근데 중요한 건 아니지만(진짜로 중요한 건 아님) 사실 이것을 '크기'라고 부르는 건 자칫 잘못하면 혼동을 줄 수 있어.

복소수도 복소평면이나 여러 기하학적인 의미를 생각하기 이전에 결국 하나의 단순한 수체계거든. 실수 이하의 수체계에서 써왔던 '크기'의 개념과 위의 복소수의 '크기'의 개념은 전혀 달라. 실수 입장에서는 위의 정의는 '크기'보다는 '길이'나 '거리'에 해당되겠지. 게다가 실수에서 쓰이는 '크기'의 개념은 복소수에선 존재할 수 없어.

실수 이하에서 다루는 '크기'는 영어로 'value'에 가깝지만 위의 정의는 'magnitude'의 정의거든 근데 실수 이하에서 수를 비교할 때 거의 관습적으로 값을 비교한다라고 하지않고 '크기'를 비교한다는 비유를 하기 때문에 생기는 혼란이야.

그래서 보통은 '절댓값'이라는 표현을 쓰긴 하는데, 나는 개인적으로 '절댓값'이라는 표현이 동떨어져 있는 느낌이 드는데다가 '크기'가 더 익숙해서 이 글에서는 계속해서 '크기'라고 할게. 절댓값은 받침이 많아서 치기가 힘들기도 하고 ㅋㅋ

아무튼 다시 본론으로 돌아가서 켤레복소수를 알아보자.

켤레복소수도 엄청 간단해. 단순히 원래의 복소수에서 허수항의 부호를 반대로 해준 복소수야. 다음처럼 말이야.

이 켤레복소수에는 성질이 많이 있는데 여기서는 필요한 것 몇개만 알고가자.

일단 첫번째로 켤레복소수의 크기는 원래 복소수의 크기와 같아. 너무나 당연한 소리지.

두번째로는 원래 복소수와 켤레복소수를 곱하면 항상 실수가 되고 그 값은 원래 복소수 크기에 제곱된 값이 나와.

그외에도 많이 있지만 이 정도만 짚고 넘어가도록 하자. 우리한테 필요한 건 이게 다거든.

그러면 이제 복소수의 역수를 알아보자. 밑의 수식은 복소수 z의 역수 를 구하는 과정이야.

분자 분모에 켤레복소수를 곱해서 분모를 실수로 만들어 계산 하는 것을 볼 수 있어. 1을 허수로 나눈다는 것을 생각하기 보다는 허수를 실수로 나누는게 생각하기 더 편한건 당연하겠지? 아무튼 이를 좀 더 보기좋게 정리하면 다음과 같아.

실제로 위에다가 z를 곱하면 1이 나오는 걸 알 수 있지. 게다가 이제 복소수의 나눗셈도 할 수 있게 되었어. 역수를 곱해주면 되는거지.

그리고 이걸 복소평면에 나타내면 켤레복소수와 원래 복소수의 역수가 나란하다는 것도 알 수 있어.

자 이제 위에서 배운 것들이 행렬표현에서는 무엇에 대응되는지 알아보자.

먼저 복소수의 크기가 행렬표현의 무엇에 대응하는지 알아볼까? 눈치 빠른 사람들은 이미 알고있을 거야. 바로 행렬식이야.

일단 복소수 의 행렬을 라고 하면 Z의 행렬식은 복소수 z의 크기의 제곱과 같아. 식으로 나타내면

복소수의 크기는 행렬로 표현했을 때 행렬식과 대응된다는 것만 기억하고 있으면 될 것같아. (크기가 행렬식과 같다는 소리는 아니야!)

다음으로 복소수 z의 켤레복소수의 행렬표현은 아래와 같아.

b의 부호만 반대로 해준 것임을 알 수 있어.

자 그러면 복소수 z의 역수 는 행렬 Z의 무엇에 대응이 될까? 직관적으로는 역행렬이라는 것을 알 수 있겠지.

복소수 z의 역수는 이미 구해봤으니까 행렬 Z의 역행렬을 구해보자.

매우 익숙한 형태네. 여기서 를 이용하면

결과적으로는

이렇게 복소수 z의 역수는 행렬 Z의 역행렬과 대응된다는 것을 알 수 있어. 그러므로 이제 우리는 복소수의 나눗셈도 행렬의 계산으로 바꿔서 계산할 수 있게 됐어. 또 반대로 행렬 Z의 역행렬이 복소수 z의 역수와 대응된다는 것도 당연하겠지?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

이번편은 여기서 마치도록 할게. 글이 매우 지루하지만 끝까지 읽어준 개드리퍼들은 고맙다 ㅎㅎ;  목표로 하는건 사원수를 설명하는 건데 이런 페이스로 갔다간 엄청 장편이 되겠네 ㅋㅋ

암튼 댓글로 궁금한 부분은 질문해줘~ 미숙한 부분 있으면 지적도 맘대로 부탁해 ㅎㅎ

근데 본인의 학력이 고졸인지라 어려운 내용은 나도 잘 몰름 ㅋ

그럼 다음 편에서 ㅂㅂ~