급식 시절에 과학 수업을 들으면서, 

에너지 보존 법칙이 성립한다. 뭐 운동량 보존 법칙이 성립한다 등등은 들어 봤을꺼야

근데 아무도 이런 법칙이 왜? 성립하는 지에 대해선 말해 주지 않지 

그냥 성립하니까, 외우라는 게 전부였지

19세기 까지만 하더라도 물리학자들 역시 이 왜? 에 관한 질문에는 대답하지 못 했어

그런 질문은 과학의 몫이 아닌, 신학이나 철학의 몫이라고 생각했었지

과학은 물리법칙이 어떻게 성립하는가? 에 대한 대답만 하면 된다는 주의였고.

독일의 여성 수학자, 에미 뇌터

그런데 1918년에 독일 수학자 에미 뇌터가 뇌터의 정리를 발표해

이 정리가 중요한 이유는, 물리 법칙이 왜 성립하는 지에 대한 과학적인 대답을 보여줘서야 

드디어 과학에서도 법칙이 성립하는 이유에 대해 부분적인 대답을 할 수 있게 되었어

그렇다면 뇌터의 정리가 뭔지 알아야 겠지?

일단 나무위키를 켜 보자

흠터레스팅...

대충 대칭성이 있다 -> 보존되는 물리량이 있다

이런 식으로 이해할 수 있겠네

그럼 다음은 대칭성이 무엇인지 알아 볼 차례가 되겠지

16세기의 과학자 갈릴레오 갈릴레이는, 피사의 사탑에서 공을 떨어뜨린 실험으로 유명해

사실 갈릴레오가 직접 떨어뜨린 건 아니고 사고 실험이었다는 말도 있어 

이 실험 전까지는 사람들이 무거운 물체가 먼저 떨어진다는 아리스토텔레스의 주장을 믿고 있었지

하지만 갈릴레오가 무거운 공과 가벼운 공이 동시에 떨어지는 것을 보여줌으로써

아리스토텔레스의 주장이 잘못 되었다는 것을 증명해.

하지만 이게 달까?

이런 질문을 해볼 수 있어

두 공이 동시에 떨어진다는 사실이, 피사의 사탑이 있는 이탈리아에서만 성립하는 것은 아닐까?

즉, 동시대의 조선시대에서는 무거운 공이 먼저 떨어질 수도 있는 게 아닐까?

만약 그렇다면 갈릴레오의 실험은 정상 과학이 될 수 없지

내가 씨부린 소리가 뭔 개소리냐 싶으면 대칭성을 잘 이해하고 있는 거야

우리는 한 공간에서 성립하는 물리 법칙이, 다른 공간에서도 성립할 것이라는 것을 의심하지 않아

이것이 바로 대칭성, 특히 공간에 대한 대칭성이라고 말해.

뇌터의 정리에 의하면, 대칭성이 있으면 대응하는 보존량이 있다고 했지?

여기서 공간에 대한 대칭성에 대응하는 보존량이 운동량이야

물리 법칙이 공간에 대한 대칭성을 가지고 있으면, 운동량 보존의 법칙이 성립해

즉, 관측자의 위치에 따라 물리량이 변하지 않으면, 운동량도 보존된다는 말이야

이를 보여주는 방정식도 있어

위 식에서 맨 앞에 꼬부랑 기호는 변분인데, 간단히 말해서 변화량을 나타낸다고 보면 돼

L은 라그랑지안이라 부르는데, 물리량을 나타내

오른쪽 식에서 dP/dt 는 운동량 P의 시간에 대한 변화량을 나타내고

맨 오른쪽 x의 변분은 위치의 변화를 나타내

공간에 대한 대칭성 즉, 관측자의 위치에 따라 물리량이 변하지 않는다는 것은

관측자의 위치가 변할 때, 즉 δx 가 0이 아니고,

관측자의 위치가 변해도 물리량은 변하지 않는다, 즉 δL = 0 이라는 말이 돼.

위에 방정식에서 이 식이 성립하려면, dP/dt 가 0이 될 수 밖에 없겠네

운동량의 시간에 대한 변화량이 0이다

즉 운동량은 보존된다는 것을 보여주는 식이지

우리가 상식처럼 받아들이는 대칭성이, 

어떠한 물리 법칙의 당위성을 보여준다는 게 신기하네

특히 이동에 대한 공간 대칭성이 선운동량을 보존하고, 회전에 대한 공간 대칭성이 각운동량을 보존해

그렇다면 공간 말고 시간에 대해서는 어떨까?

다시 갈릴레오 실험으로 돌아와 보자

16세기에 행해졌던 이 실험이, 21세기에도 유용할까?

21세기에 직접 떨어뜨려 보지 않아도, 16세기 실험으로 두 공이 동시에 떨어진다고 볼 수 있을까?

이 역시 우리는 당연하게 받아들이고 있지

이게 바로 시간에 대한 대칭성이야

간단하지?

간단한 것에 비해서 함축하는 의미가 커

뇌터의 정리에 의하면 대칭성에 대응되는 보존량이 있다고 했는데,

시간에 대한 대칭성에 대응되는 보존량이 바로 에너지야

에너지 보존 법칙이 성립하는 이유는, 시간에 대해 물리법칙이 변하지 않기 때문이란 거지

물론 이 경우도 방정식이 있겠지?

δL 은 똑같고, 오른쪽에 H는 해밀토니안이라 하고, 에너지를 대표해

이번엔 δx 가 아니라 시간에 대한 변분 δt 네

아까랑 똑같이 시간이 변해도 물리량은 변하지 않는다고 하면,

dH/dt 가 0일 수밖에 없어

이는 다시 한 번 에너지 보존 법칙을 의미하지

일본계 미국인 물리학자 미치오 카쿠는, 이 정리에 어떤 의의가 있는지 잘 설명해줘

뇌터의 정리 발표 이전에는 대칭성을 그저 상식으로 받아들이고 아무도 깊게 생각하지 않았지.

하지만 현대 물리에서는 대칭성의 입장이 바뀌어. 

어떤 물리계를 연구하더라도 대칭성을 확인하는 게 최우선 과제가 되었어.

양자역학은 물론이고 장이론, 초끈이론 등등 새로운 물리 역학을 연구할 때, 대칭성이 성립하는지가 무엇보다 중요해졌지.

대칭성이 확인되면 그에 대응하는 보존량이 있을 것이고, 이는 물리량 계산에서 필수적이니까

여담으로 에미 뇌터는 예전에 역설 글에서 소개한 힐베르트의 제자인데,

독일의 괴팅엔 대학교의 교수가 될 실력에도 불구하고, 여성이라는 이유로 사강사 일만 하게 돼

근데 그 사강사 일마저도 반대에 부딪친 적이 있었지

여성이 남성을 가르치는 것에 대해서 반발이 많았거든

힐베르트는 이를 두고 

"괴팅엔은 대학교지 목욕탕이 아니다." 라며, 성별이 문제 되지 않음을 일갈했다고 해