전 글의 내용에 부족한 부분이 있어 보충을 하고자 합니다

전 글 링크 : 컴퓨터로 사진 만지작 거리기(1)-배경지식 https://www.dogdrip.net/454884913

1. 푸리에 전개에 대한 오류가 있었습니다

전 글에서는 주기가 2π/ω인 함수 f(x)의 푸리에 전개를

라고 표현했습니다

0~2π/ω의 범위에서 f(x)를 적분해봅시다

삼각함수에 붙는 계수 a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b₃등에 상관없이 항상 0이 됩니다

ω의 값이 얼마이건 항상 0이 됩니다

그러면 극단적으로 y=1의 그래프는 나타낼 수 없습니다

1초마다 0과 1이 반복되는 그래프, 1초마다 0와 -1이 반복되는 그래프도 위와 같은 방식으로는 나타낼 수 없습니다

주기를 어떻게 잡건 주기 내에서 정적분을 했을때 정적분값이 0이 되지 않기 때문입니다

그렇기 때문에 사실 f(x)를 푸리에 전개로 나타낼 때에는 삼각함수의 항 말고도 상수항 c가 필요합니다

그러면 이번에는 c도 넣은 f(x)를 0~2π/ω의 범위에서 정적분 해봅시다

c에 대한 항만 남고 다 사라졌습니다

이렇게 되면 c도 구할 수 있습니다

즉 한 주기동안의 함숫값들을 더해서(적분) 주기로 나눠준 평균값이 c입니다

간단히 말해서

1) 일단 한 주기 내의 평균이 0이라고 치고 그래프의 모양만 잡아준다

2) 주기 내의 평균값 c를 더해 그래프의 위치를 조정한다

이런 흐름입니다

완성된 푸리에 전개는 다음과 같습니다

c를 빼먹은 데에 특별한 이유는 없고 그냥 깜빡했습니다

주기를 2π/ω대신 2L로 잡고

정적분을 0~2π/ω대신 -L~L에서 구하는 영상, 교재도 있습니다만, 어차피 주기함수라 큰 차이는 없습니다

저는 sin, cos의 주파수가 정수배(n배)라는 것이 쉽게 보이는 방향으로 잡았습니다

2L로 잡으면 한 주기 범위에서 적분했다는 것이 쉽게 보일 것입니다

2. 푸리에 변환에 대한 살짝 상세한 설명

오일러 공식이라는 것이 있습니다

아마 "세상에서 가장 아름다운 식"이라는 별명으로 알고 계신분들도 있을것입니다

한국 교육과정이 하도 자주 바뀌다보니 지금도 고등학교 교육과정에 복소수가 남아있는진 모르겠습니다

간단히 말해서 -1의 제곱근 중 하나를 i, 나머지 하나를 -i라고 표기합니다

(전기공학에서는 전류도 i를 써서 혼동되므로 허수단위를 j로 표기합니다)

θ대신 -θ를 대입하면 e^-iθ=cos(-θ)+i・sin(-θ)=cosθ-i・sinθ가 됩니다

이 식과 원래의 오일러 공식과 연립하면

가 얻어집니다

θ대신 ωx를 대입하면 푸리에 전개에 적용할 수 있는 형태가 됩니다

즉, ω라는 하나의 변수만으로도 sin과 cos을 모두 표현할 수 있게 되며

정의역을 x(공간, 시간 등)에서 ω(원래의 함수를 구성하는 삼각함수들의 주파수)로 변환할 수 있습니다

주파수ω를 x축, 주파수가 ω인 삼각함수의 성분을 y축에 두면 새로운 함수 F(ω)가 구해집니다

아래는 푸리에 변환식입니다

이 글을 연재하는 동안 이 적분을 실제로 계산하는 일은 없을겁니다

적분을 하는 것보단 적분결과를 보고 해석하는 것에 중점을 둘 것입니다