지금 듣는 과목이 컴퓨터그래픽스인데

간단히 말해서 컴퓨터는 어떻게 사진을 표현하고 어떻게 다루는지를 배우는 과목입니다

그런데 꽤나 재밌어서 tmi 남발하기 좋아하는 intp답게 여기다가 복습 겸 글을 남기고자 합니다

아무래도 고등학교 이과 수준의 수학지식이 있어야 무리없이 읽을 수 있을 것 같습니다

 

1. 빛

사람의 눈에는 크게 두 가지 세포가 있습니다

하나는 밝기를 감지하는 간상세포

하나는 색을 감지하는 원추세포입니다

원추세포는 또 각각 빨강R, 초록G, 파랑B을 인식하는 세 종류가 있습니다

(동물에 따라서 원추세포의 가짓수는 다릅니다)

그래서 빛의 3원색이 RGB인 것이고 이 세 빛만 있으면 사람이 볼 수 있는 모든 빛을 표현할 수 있습니다

컴퓨터의 화면도 이 세가지 빛을 이용해서 여러 색을 만듭니다

 

2. 벡터의 내적

컴퓨터의 각 화소는 RGB의 세 성분을 갖습니다

그렇다면 세 성분의 값을 한 데에 모아 (r, g, b)라고 표현할 수 있을것입니다

이는 좌표공간의 한 점이 되며, 시작점을 원점, 끝점이 (r, g, b)인 벡터로도 볼 수 있습니다

 

벡터끼리의 중요한 연산 중에 "내적"이라는 것이 있습니다

내적기호는 ・이며 두 벡터 a=(m, n, l)와 x=(p, q, r)의 내적은 a・x라고 표현합니다

벡터a의 시작점과 끝점의 직선거리를 구할 수 있고 이걸 |a|라고 표현합니다

그리고 a와 x가 이루는 각도를 θ라고 했을 때

a・x=|a||x|cosθ입니다

여기서 주목할 것은 "cosθ"가 들어가 있다는 점입니다

θ=90°일때 cos은 0이 됩니다

두 벡터가 수직을 이루면 a・x=|a||x|cosθ=0이 된다는 것을 알 수 있습니다

내적을 계산하는 방법은 하나가 더 있습니다

a・x=(m, n, l)・(p, q, r)=mp+nq+lr입니다

이는 성분이 두개이건 네개이건 상관없이 같은 순번의 성분끼리 곱한 것들을 더해주면 됩니다

성분이 n개인 두 벡터의 내적을 식으로 쓰면 이렇게 되겠습니다

이 두 방법이 실제로 같은 결과인지에 대한 증명은 생략하겠습니다

 

3. 함수의 내적

위에서 내적을 계산하는 두번째 방법을 소개할때에 성분이 몇개이건 상관없이 같은 방법으로 구할 수 있다고 했습니다

이는 성분이 무한히 많아도 성립합니다

 

두 함수 f(x)와 g(x)가 있습니다

편의를 위해 x의 범위는 0부터 1사이라고 하고 x를 같은 간격으로 쪼개봅시다

간격을 0.5로 잡으면 a, 0.5, 1의 세 점을 잡을 수 있습니다

간격을 0.25로 잡으면 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1의 다섯개의 점을 잡을 수 있습니다

간격을 점점 줄여서 아주아주 잘게 잘랐다고 하고 이 때의 간격을 dx라고 합시다

그러면 f(0), f(dx), f(2dx), f(3dx), f(4dx)....f(1)와 g(0), g(dx), g(2dx), g(3dx), g(4dx)....g(1)를 생각할 수 있습니다

이 두 그룹을 각각 벡터라고 생각합시다

벡터 F = (f(0), f(dx), f(2dx), f(3dx), f(4dx)....f(1))

벡터 G = (g(0), g(dx), g(2dx), g(3dx), g(4dx)....g(1))가 되며

라고 F와 G의 내적을 구할 수 있습니다

f(x)와 g(x)를 적절히 선택하면 F・G=0이 되도록 할 수 있을 것입니다

F・G=0이라면 양변에 간격 dx을 곱해줘도 값은 0으로 같을 것이며

dx는 아주아주 작은 간격으로 자른것이므로 반복되는 덧셈은 적분 기호로 바꿀 수 있습니다(구분구적법)

그러므로 두 함수 f와 g가 직교한다면

가 성립합니다

위의 예시에서는 a=0, b=1이 되겠습니다만, 꼭 0과 1일 필요는 없습니다

이 식을 만족하는 a, b, f(x), g(x)는 의외로 아주 친숙한 녀석들입니다

a와 b는 정수일때 이 세 식은 모두 성립합니다

반대로 이 둘은 π입니다

 

 

4. 푸리에 급수

이번 글의 마지막 파트입니다

주기2π마다 같은 모양이 반복되는 어떤 함수f(x)가 있다고 합시다

이 함수는 왠지 주기를 갖는 대표적인 함수 sin과 cos의 합으로 표현될 것만 같은 기분입니다

여기에 -π부터 π까지의 구간에서 sin(x)와 f(x)를 곱해서 적분을 구해보겠습니다

위에서 sin(ax)sin(ax)의 적분 이외의 것은 전부 0이 된다고 했고 이 식은 a=1인 경우이니

로 줄일 수 있습니다

 

sin(2x)와 f(x)의 내적, sin(3x)와 f(x)....cos(x)와 f(x)의 내적, cos(2x)와 f(x)의 내적, cos(3x)와 f(x)의 내적...을 모두 구해보면

똑같이 sin(ax)끼리의 내적, cos(ax)끼리의 내적 이외에는 0이 된다는 것을 이용해

가 됨을 알 수 있습니다

그리고 양변을 π로 나눠주면 f(x)에 섞여있는 sin, cos함수들의 계수들을 알 수 있게 됩니다

꼭 f(x)의 주기가 2π일 필요는 없으며, f(x)와 내적을 구할 sin, cos의 주기를 적절히 변형하여 대응할 수 있습니다

 

이 a_n과 b_n을 구하는 것을 푸리에 급수라고 하며

실제로는 주기가 없는 함수라도 "주기가 무한히 길다"라고 가정하여 극한을 구하는 것을 푸리에 변환이라고 합니다

 

예를 들어 π초마다 직y=x가 반복되는 그래프를 푸리에 전개하면

가 됩니다

 

 

 

 

5. 끝맺음

이번 글의 메인은 푸리에 급수인것 같습니다

화상처리는 RGB로 이루어진 사진에서 어떤 성분을 남기고 어떤 성분을 뽑아내야 하는지 고민하는 것이 대부분이었으며

성분을 뽑아내는 것의 시작이 푸리에 급수였습니다

 

아직 학부생 나부랭이라 틀린 내용이 있을 수 있습니다

틀린 내용을 지적해주시면 공부에 큰 도움이 될 것 같습니다

 

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2022.01.03 수정

보충글 https://www.dogdrip.net/455071119 추가

푸리에 전개의 예시를 사각파 그래프에서 y=x로 변경

결과를 사진 대신 영상으로 변경