π에 관해서야.

(저번에 쓴 글에서 논쟁이 좀 있었어.

혹시나 해서 확인하는 글을 쓸게.

난 절대 내가 수학을 잘한다고 자랑하려고 쓰는 게 아니라는 거 알아줘.

그저 수학을 싫어하는 형들이 있다면 내 글을 보고 한 번쯤 더 관심을 가져보라고 쓴 거야.)

지금 아래에 쓰여있는 n은 (아르키메데스 부분  빼고) 전부 파이야.

파이가 입력이 안 되서 어쩔 수 없이 n으로 썼어. 미안해.

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원주율 위키피디아 : http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8

π는 굉장히 익숙한 수일거야.

초등학교 때부터 시작해서, 중학교, 고등학교를 넘어서 절대 멈추지 않고 등장하는 수야.

그렇게 많이 등장하는 만큼, 수학을 싫어하는 사람들은 π도 엄청나게 싫어하더라고.

내가 일본 애니메이션 관련된 자료들을 굉장히 혐오하는데..

그리고 이거 개드립에 한 번 올라왔던 걸로 기억해.

유투브에 '원주율 외우기' 치면 이게 가장 먼저 뜨네.

한 번 심심풀이로 클릭하고 지나가길 바래.

(1시간 8분이라는 압도적인 러닝타임)

1. π의 계산

과연 π의 시작은 무엇일까?

그건 정확히 알 수 없지만,

π의 값을 구하기 위한 노력은 추적해볼 수 있어.

현재는 3.14로 대부분 통용되고 있지만,

고대 메소포타미아 문명이나, 성경(성경에도 있을 줄은 몰랐는데..), 중국의 구장산술에는 원주율을 3으로 계산하고 있어.

그리고 기록으로 남아있는 것 중

π의 값을 체계적으로 최초로 구한 것은

많은 형들이 알고 있을 아르키메데스의 방법이야.

이렇게 n각형을 조금씩 원에 가깝게 그려가면서

원주율의 근삿값을 구한거지.

이 방법으로 아르키메데스는 원주율을 3.14까지 정확하게 구해냈어.

로마 시대처럼 수학이 발전하지 않았던 때,

극한의 개념을 떠올렸다는 것은 정말 대단하다고 평가할만해.

그 뒤로 당분간 π의 역사는 중국으로만 갇혀있어.

5세기 조충지가 π를 3.141592까지 계산해내.

한동안 잠잠하던 π는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이라는 사람에 의해서 35자리까지 계산되고,

그 이후로 컴퓨터가 개발되면서 엄청난 속도로 그 숫자가 늘어나지.

실제로, π는 컴퓨터의 성능을 알아보기 위한 수단으로 쓰이기도 한다고 해.

2. π의 수학적 특징

π를 구하는데 많은 역사가 있었다는 것을 알아봤어.

π에 관한 독특한 수학적 성질, 특징들을 몇 가지 알아보자.

(난 처음에 이 식들을 보고 정말 온몸에 소름이 쫙 돋았었어)

나만 그런건가?

난 π가 유리수로 표현될 수 있다는 것에 엄청나게 놀랐었어.

π를 정확하게 계산하기 위해서는, 그저 위에 있는 식을 따라가면 될뿐이야.

음, 나 말고도 많은 읽판 형들이 놀랐길 바래..

자, 다음 성질

방금은 분수들을 더한 것이었다면, 이번엔 분수의 곱으로 표현한 거야.

다음은.. 현재 7대 난제 중의 하나인 '리만 가설'의 시작점으로 알려진 공식이야.

내가 π에 관한 공식 중 가장 신기하게 봤고, 또 내가 가장 오랫동안 이유를 탐구했던 공식이기도 해.(아직도 증명을 못하겠어..)

(리만 가설은 저 지수에 복소수가 들어갈 때에 관한 내용이야.)

마지막으로 하나 더

요 놈이야. 연분수를 정말.. 아주 기묘하게 적용시켜놨지.

(내가 기억하는 게 맞다면, 모든 실수는 이렇게 연분수꼴로 표현할 수 있다고 해.)

3. 삼각함수와 호도법

π하면 절대 빼놓을 수 없는 부분이지.

π가 원에서 나온 숫자이다보니, 원과 절대 떼어놓을 수 없어.

먼저 호도법에 대해서 알아볼게.

호도법은 360도를 π radian으로 계산하는 방법이야.

원에 관련된 공식들 몇 개 알지?

원의 넓이 πr^2

호의 길이 2πr 이런 거.

여기서 각도를 예를 들어 100도로 바꾸면, 60도법일 때 계산이 불편한 것을

호도법이 아주 획기적으로 바꿔놨어.

그리고, 원래 삼각함수는 정의역의 단위가 '도'야.

그냥 1, 2를 넣어서는 삼각함수를 구할 수 없는 게 원칙이었지.

하지만, 60도법 대신 호도법을 도입하면서 실수를 정의역으로 갖는 삼각함수도 계산이 가능해졌고,

(주관적인 평가로는) 호도법이 삼각함수를 확장시키는데 지대한 역할을 했다고 봐.

내가 호도법을 설명한 이유는!?

호도법의 기본이 π이기 때문에!

4. 물리학의 π

읽판에 물리학을 공부하는 형들이 많아서 한 번 써볼게.

마침 위키피디아에 있기도 하고 말이야 ..

(솔직히 난 불확정성의 원리에 π가 왜 나오는지 도저히 이해할 수가 없어...)

고전물리학을 무너뜨리고, 양자론의 가장 기초가 된 공식, 불확정성의 원리야.

위치의 불확정성과 운동량의 불확정성을 곱하면 무조건 어떤 값 이상이 된다는 건데, 이 '어떤 값'에 π가 들어가 있지.

물리학! 하면 많은 사람들이 떠올리는 아인슈타인의 방정식에도

π는 어김없이 등장해.

참, π는 안 쓰이는 곳을 찾기가 힘들 정도지.

이 정도면, π에 대해서 많이 알아봤다고 생각해!

읽어줘서 고마워 형들!