안녕, 개드립 형들.

날 기억하는 형들이 몇 명이나 될 지는 모르겠지만,

시험이 끝나서 한 번 글쓰러 왔어.

<불가능은 없다>에 관한 내용을 연재하려고 했는데, 학교생활 때문에 시간이 많이 없어서..

나도 그 글을 쓸 때 책을 2~3번은 읽어보고 쓰기 때문에, 시간이 많이 필요하거든. 방학 때 아니면 안 될 것 같아.

그래서 간단한 수학 내용들을 쓰려고 해.

나도 나름 수학은 잘한다고 자신하고 있으니까....

일단 나는 '오일러의 공식'을 증명하는 것을 최종목표로 하고 시리즈를 쓸 거야.

개인적으로 가장 아름다운 공식 1위로 뽑고 있고, 실제로 수학계에 엄청난 영향을 미친 공식이기도 하니까.

그래서 가장 첫 번째로, 허수가 어떤 것인지, 어떻게 발견되었는 지부터 설명하려고 해.

교과서로만 수학을 배웠고, 수학을 재미없어 하는 형들은 내 글을 보고 한 번쯤 수학에 더 관심을 가져보는 게 어떨까?

-------------------------------------------------------------------------

허수가 아마 고1때 처음 나올거야. (현재 교육과정으로는..)

그리고 허수는 가장 이해하기 어려운 '수'야.

뭐 4원수라는 것도 있긴 한데, 난 얘는 별로 맘에 안 들더라고. 

허수를 억지로 확장했다는 느낌이 너무 강한 것 같아.

아무튼 허수를 시작하기 전에, 수 체계부터 먼저 알아보자!

고등학생 이상인 형들은 한 번쯤은 봤을법한 그림이야.

초월수나 소수, 합성수까지 나온 걸로 봐서는 상당히 세분화 시켜 놓은 거야. 

1. 자연수

익숙하고 부담스럽지 않은 자연수부터 알아보자.

솔직히 왜 공부하는 지도 모를 정도로 단순하고 쉬운 수야.

왜 자연수가 가장 쉽고 부담스럽지 않을까?

이유는 정말 단순해.

'셀 수 있기 때문'이야.

최초의 문명이 탄생했다고 하는 기원전 3000년보다 더 먼 과거에,

인류는 '돌 한 개'와 '손가락 한 개'의 공통점을 파악했어.

이것이 수학의 시작이야.

아무것도 아닌 것 같아 보일 수도 있어.

"돌 한 개랑 손가락 한 개의 공통점, 숫자 1 아냐?"

참 당연해 보이는 이 말을 생각해내는데

수 만 년이 걸렸을 거야 아마.

아무튼 이렇게 무언가를 '세는' 숫자가 탄생해. 

이것이 바로 '자연수'지.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 부터 시작해서

자릿수를 증가시켜가며 꾸준히 증가하는 수야.

그렇다면 자연수를 '수학적으로' 대한 것은 언제부터일까?

여기서 수학적이란 말은, 수학에서 사용하는 용어들로 정리하는 것을 말해.

아래는 페아노의 공리야.

(공리란, 증명이 필요없는 명제들을 말해.)

이 사람이 만든 공리야.

1. 1은 자연수이다. 
2. 각 자연수 n에는 그 후자라 칭하는 자연수 n’가 단 하나 대응한다. 
3. 자연수 n에 대하여 n’≠1 
4. m’=n’이면 m=n 
5. S가 자연수 전체의 집합의 어떤 부분집합으로 (i) 1∈S, (ii) n∈S이면 반드시 n’∈S이다.

(출처 : 네이버캐스트)

여기에서 자연수의 모든 성질이 출발한다고 해.

수학을 배우지 않은 형들한테는 쉽지 않은 내용일꺼야.

간단하게 요약하자면,

1. 1은 자연수이다.

2. 자연수는 그 다음 자연수가 존재한다.

5. 어떤 자연수에 1을 더하면 그 수도 자연수다.

이렇게 쓸 수 있을 것 같아. (3, 4는 생략했어.)

이것을 시작으로해서 자연수에 대한 본격적인 탐구가 이루어졌고,

'수'라는 것에 대한 근본적인 연구가 시작됬다고 할 수 있을 것 같아.

2. 유리수

다음은 유리수야.

혹시 정수보다 유리수를 먼저 쓰는 것에 호기심을 가진 형들이 있을까?

만약 그랬다면, 정말 대단한 사람이야.

내가 유리수를 먼저 쓴 이유는, 유리수가 정수보다 먼저 사용됬기 때문이야.

내가 알고 있는 것 중에서 유리수를 썼다는 가장 오래된 기록은 피타고라스 학파에 관한 내용이야.

피타고라스 학파에서는 만물은 수로 이루어져있고, 수의 비율로 표현할 수 있다고 했거든.

여기서 '수의 비율'이 바로 유리수야.

즉, 유리수는 기원전 수백년 때에도 쓰고 있었던, 상당히 역사가 깊은 수야.

이렇게, 도레미파솔라시도에도 '수학적 비율'이 숨어있다고 믿은 학파였어. (요즘은 다르게 쓰더라고)

수의 비율로 표현된 유리수는

순환하는 무한소수나, 유한소수로 표현할 수 있어.

이건 중학교인가 초등학교 때 배우니까 따로 설명하진 않을거야.

사실, 자연수와 유리수만 어느 정도 알아도 실생활에서는 거의 부족함을 못 느껴.

이 이상의 수를 배워도 큰 의미가 없다는 건, 수학에 나름 자부심이 있는 나도 인정하는 점이야.

3. 정수

자연수에 '마이너스'만 붙이면 나오는 수, 정수야.

아, 물론 0도 있긴 하지만

아이러니하게도

정수는 유리수보다 더 작은 범위에 속해있는 수이지만,

음수를 나타내는 기호인 '마이너스'는 1498년에야 나와.

심지어 여기선 '마이너스'가 아닌 그저 '빼기'였지.

그리고 음수는 그저 '방정식을 푸는데 필요한 수'일 뿐이었어.

고등학교 과정에서 허근을 근으로 인정하지 않는 것처럼,

당시에는 음수의 근을 근으로 인정하지 않았었지.

당시 수학자였던 '데카르트'는

좌표평면을 개발하지만

x와 y가 모두 양수인 제1사분면만 취급했었어.

당시 음수를 수로 인정하지 않았던 풍토는 대단했었어.

(데카르트는 위 좌표평면에서 오른쪽 위, 즉 1사분면만 취급했지.)

하지만 시간이 서서히 흐르면서 음수는 수로 인정되기 시작했어.

다시 말하면, 음수가 수로 인정된 것은 채 500년도 되지 않아.

4. 무리수, 실수

무리수와 실수는 하나로 묶어놨어.

단순히 '수의 개념'만 설명하는데 크게 중요하지는 않거든.

무리수는 '루트'로 대표되는 수이고,

실수는 그 사이에서 한 번 더 확장된 수일 뿐이야.

난 무리수와 실수에는 큰 의미를 두고 싶지 않아.

정수와 유리수까지 범위가 확장된 것에서, 그 사이에 끼어있는 수가 눈에 들어오는 것은

어찌보면 당연하다고 말할 수 있을 정도였거든. 

그리고 내가 알기로 무리수가 수로 인정되는 데에는 큰 반발이 없었어.

(피타고라스 학파에 관한 일화가 하나 있긴 한데, 내가 이야기하는 것은 이미 1700년대를 넘어있으니 생략할게)

아, 그리고 하나 중요한 것.

실수는 '수직선 위에 표현 가능한 수'라고도 할 수 있어.

어떠한 수를 말하든, 그 수는 수직선 위에 점으로 찍을 수 있거든.

하지만 문제는, 수학이 더 발전하면서 생겨.

5. 허수, 복소수

자, 드디어 내가 진짜 설명하고 싶은 수가 나왔어.

바로 허수야.

영어로는 Imaginary Number야.

이 영상을 하나 보고 가는 걸 추천해.

지식채널e에서 만든 영상인데, 내가 허수에 감동을 먹은 원인 중 하나랄까.

수학이 꾸준히 발전하는 와중에

제곱에 관한 의문점이 하나 발생하게 되.

양수를 제곱하면 양수가 되고

음수를 제곱해도 양수가 돼.

그렇다면, 도대체 어떤 수를 제곱해야 음수가 될 수 있는 걸까?

음수가 그러했듯이, 이 수도 처음에는 수로 인정받지 않아.

오죽하면 이름이 '허수'겠어.

위 영상에는 복소평면에 대한 내용이 나와.

내가 이 글을 쓰면서 하고 싶은 말은 딱 하나야.

"허수를 수학시간에 배우는 따분한 수 정도로 지나치지 말고

허수의 의미를 한 번쯤 돌이켜보는 것도 좋을거야."

난 수학 내용을 형들한테 전달하고 싶은 것이 아니야.

수학 공식과 용어들 사이에 숨어있는 연결고리와 의미들을 한 번 돌이켜주는 역할을 하고싶어.