기타 지식

[확률문제] 당신이 눈앞에서 버스를 놓쳤을 때, 다음 버스가 도착할 때까지 t분 동안 기다려 야할 확률을 구하시오.

물론 배차간격 같은 버스 관련 정보를 모른다고 가정한다.
또한 버스 간에 서로 배차간격을 고려하지 않고 각자 멋대로 도착한다고도 가정한다.

 

우선 하루 내내 버스정류장에서 버스를 기다릴 시, 자신이 원하는 버스가 k번 도착할 확률은 아래와 같이 구한다.

https://www.dogdrip.net/237659030

 

위 과정을 거치면 하루 내내 버스가 k번 도착할 확률은 e-qqk/k!이다. (q: 하루에 버스가 도착하는 횟수의 평균값)

그런데 위에서 버스를 만날 기회가 무한대 있다고 가정하였으므로, 무한대는 쪼개도 무한대이다.
그렇다면 기간을 하루 대신에 1분으로 축소시키자.
물론 기간이 크게 줄었지만, 여전히 버스를 만날 기회는 무한대이다.
그리고 그 기간 동안에는 당연히 자신이 원하는 버스는 단 한 대도 지나가지 않는다.

그러므로, 위 식에 k = 0을 대입하자.

 

e-q

 

이것은 1분 동안 버스가 안 올 확률이다. (물론 하루 내내 또는 당신이 군대에 있는 내내 버스가 안 올 확률도 이것과 똑같다.)
여기서 문제에서처럼 t분 동안 버스가 안 올 확률이라면? 위에서 버스끼리 배차간격을 조절하지 않는다고 가정했으므로, 버스 간에 서로 영향을 주지 않는다. 따라서 단순히 t번 제곱하면 된다.

 

e-q x e-q x ... x e-q = e-qt

 

위는 t분 동안 버스가 안 올 확률이다. 헷갈리지 말자. 문제에서 요구하는 건 버스가 올 때까지 걸리는 시간이지, 정해진 시간 동안 버스가 안 오는지가 아니다.
바로 위 식의 의미를 다시 생각해보자. t분 동안 버스가 안 올 확률이라는 건 바꿔 말하면, t+1분째에 버스가 올 확률, t+2분째에 버스가 올 확률, t+3분째에 버스가 올 확률, ...을 모두 더한 값과 같지 않을까?
따라서, t분 이내에 버스가 올 확률은 1에서 위 확률을 뺀 값이 된다.

 

(t분 이내에 버스가 올 확률) = 1 - (t분 동안 버스가 안 올 확률) = 1 - e-qt

 

원래 시간은 연속적인 개념이므로, 이제부터는 연속적인 변수로 생각하자(t가 꼭 정수일 필요는 없다는 소리다). 위 식은 지금부터 t분 안에 버스가 올 확률을 모두 합한 값이므로, 몇 분 후에 버스가 올 확률을 0에서 t까지 적분한 값과 같다.
따라서 위 식을 t로 미분하면

 

d(1 - e-qt) / dt = qe-qt

 

위 식이 바로 지금부터 버스가 올 때까지 t분 동안 기다려야 할 확률이 되겠다.

26개의 댓글

2019.12.13

여기있는 시간처럼 연속적인 일에 대한 poisson distribution e^-q*q^k/k! 쓸때는 q를 시간 단위로 구분해야하는걸로 알고있음

 

즉 1분동안 하나도 안올 확률은 e^(q/(24*60)) 이지 않나?

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2019.12.13
@혼자잘노는애

하루 동안 버스가 올 기회가 유한하다면 그게 맞을 수 있음

근데 여기서는 시간을 연속으로 놓았기 때문에 시간을 하루로 놓든 1시간으로 놓든 1분으로 놓든 버스가 올 기회는 여전히 무한이라고 생각함

1분이라고 해도 배차 간격이 0.0001초라면 1분 안에 버스가 60만대 도착할 수 있고, 더 짧으면 더 많이 버스를 만날 수 있고

그래서 시간이 아무리 축소된다고 해도 버스는 얼마든지 올 기회가 있으니 q값은 변하지 않는다는 게 내 생각임

 

물론 개인 뇌피셜이니 반박해도 됨

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2019.12.13
@줴렐레

"하루동안 ... 60만대 도착할 수 있고" 여기까지는 너말이 맞음 근데 그게 꼭 시간을 얼마나 잡더라도 확률이 같다는말은 아니야

 

너가 q를 하루에 버스가 도착하는 평균값이라고 하잖아 사실 이거는 (number of BUSes /unit time) * time 이야

 

그러니깐 시간의 기준을 잡고 그시간동안 평균으로 지나가는 버스의 숫자 * 원하는 시간 이거인거지

 

 

 

 

0
2019.12.13
@혼자잘노는애

그러니깐 버스는 1분동안 60만대 올수도있고 하루종일 60만대 올수가있다 => 그러므로 1분동안 60만대 올 확률 = 하루종일 60만대 올 확률

 

이 성립하는게 아니라는거지. 둘다 가능한 명제라고 해서 확률이 같은법은 아니잖아?

 

사실 여기선 independent pdf를 사용해야하는데 확률에 관심있으면 공부해봐바

 

여기서 중요한점은 60분이란 시간이 있을때 처음 [0,1]분동안 버스가 올 확률이랑 [1,2]분동안 버스가 올 확률이랑 똑같은게 중요한거야

 

그니깐 각각의 구간은 서로 독립적이고 영향을 주지않는게 포인트지

 

만약에 1시간동안 버스가 평균 2대 온다 치자

 

그러면 내가 버스정류장에 도착했을때 30분안에 버스가 올 확률은 => x라고 치자

 

그러면 내가 버스정류장에 도착해서 30분을 기다렸는데 안왔어 그러면 다음 30분 안에 버스가 올 확률은? => 이것도 x야

 

왜냐면 여기서 쓰이는 확률은 기억이 없거든. 이걸 memoryless property라고해

 

그렇다면 1시간동안 버스가 평균 2대오는 정류장에 2시간동안 있다고 치면 오는 버스갯수의 기대값은?

 

처음 한시간과 나중 두시간은 서로 관계가 없으니

 

2+2 = 4대야.

 

이거처럼 하루종일 60만대오는게 평균이라치면 1분동안은 60/(24* 60) 인거지.

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2019.12.13
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2019.12.13
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2019.12.13

와멋있다

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2019.12.13

이걸 생각하는게 의미가 있음? 실용적으로 쓴다면 어디다쓸수있어?

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2019.12.13

이거 우리 공업수학 중간고사 문제였는데 여기서 보게될 줄이야 ㅋㅋㅋㅋ

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2019.12.13
@Kryle

시발 ㅋㅋㅋㅋ

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2019.12.13
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2019.12.13

눈앞에서 버스놓치면 당연히 다음버스 올때까지 기다려야되는거아니야? ㅋㅋ 모르겟다

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무조건 50퍼지 오던가 안오던가

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2019.12.13
@드높은 천상물반도

내가 지금 주먹질 날리면 너가 맞을 확률도 50퍼다 와바랏

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@불행인

휴 50퍼확률로 피함

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2019.12.13
@드높은 천상물반도
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2019.12.13

카카오버스를 켜라... 개드립끄고

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2019.12.13

수알못이라 이해가 안가는데

다음 버스를 기다릴 확률이라는게 무슨말이야?

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2019.12.13
@Hakat

다시보고 이해했다

수학하는놈들이랑은 상종하지 말아야겠단걸 배웠다

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2019.12.13
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2019.12.13
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조합과 극한을 이용해서 이런 괴물을 만들 수 있군요

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2019.12.13

일단 틀린 얘기가 너무 많으니까 한 가지만 지적하자면 pdf랑 확률은 좀 구분하고 적자 니 말대로라면 q랑 t에 따라 1이 넘는 확률이 나올 수도 있겠네

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2019.12.15
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2019.12.15

크크큭 어리석은 .. 정답은 Zero..ZEro다!

나는 택시를타고갈거닷

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2019.12.17

그거 막차였는데....

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