기타 지식

[확률문제] 당신이 하루 내내 걷다가 동전을 k개 주울 확률을 구하시오.

참고: lim_{x→inf}(1 + 1/x)x = lim_{x→-inf}(1 + 1/x)x = e
힌트: 하루 동안 동전을 주울 기회가 무한히 있다고 가정할 것.

 

만약에 동전을 주울 기회가 하루 내내가 아니라 하루에 n번만 주어졌고, 그 기회가 올 때 동전을 발견하고 주울 확률을 p라 하자.
그럼 하루에 줍는 동전이 평균적으로 np개 꼴인데, 이걸 q = np로 놓는다.

근데 그 n번의 기회 동안 k개 주울 확률은?
nCk pk(1-p)n-k

 

앞에서 q=np라고 놓았으니까 이걸 p에 대입하면
nCk (q/n)k (1 - q/n)n-k = nCk (q/n)k (1 - q/n)n (1 - q/n)-k

 

이제 하루 동안 동전을 주울 기회가 무한히 있다고 가정하자. 그럼 n→inf이다.
먼저 lim_{n→inf}(nCk (q/n)k)은 얼마인가?

 

nCk = n! / (k!(n-k)!)이므로 nCk (q/n)k = (n! qk) / (k!(n-k)!nk)
분자 n!과 분모 (n-k)!을 약분하면 분자에 n이 k개 남는데, 분모에 아직 nk이 있으므로 분모에도 n이 k개 남는다.
분자, 분모의 n의 개수가 쌤쌤이므로 n→inf에 의해 다 상쇄돼서 남는 건 qk/k!

 

이번엔 lim_{n→inf}(1 - q/n)n은 얼마인가?

x = -n/q라 놓자. 그럼 lim_{n→inf}(1 + 1/x)-xq이다. 그리고 n→inf이면 x→-inf이다.
따라서 맨 위의 식을 참고하면 lim_{x→-inf}(1 + 1/x)-xq = e-q

 

마지막으로 lim_{n→inf}(1 - q/n)-k은? 그냥 1이다.

 

정리하면 당신이 하루 동안 동전을 k개 주울 확률은 e-qqk/k!이다.

9개의 댓글

2019.12.13

q가 0이라 k에 상관없이 0 아녀

0
2019.12.13
0

고등수학 열심히 했던 분들이면 유도되는 식은 이해하실수 있겠네용. 하지만 하루가 참 길겠군요

0
2019.12.13
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2019.12.14

위에 글 보고 이 글 보는데 글 솜씨를 키우던가 수학 공부를 더 하던가 하고 다시 적길 바란다. 어디서 poisson 근사식 하나 보고 이따구로 적으면 이게 패러독스지 공식이냐

0
2019.12.15
0
2019.12.17

as n->inf, q->inf

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2019.12.17
@plazuela

무한한기회가 주어지면 확률이 0이 아닌이상 무한히 주을수밖에 없다

0
2019.12.18

아 그래서 몇 프로냐고 시발

0
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