과학

왜 1+1 = 2 일까?

밑에 읽판에 왜 올라왔는지 모르겠는 글보고

갑자기 삘받아서 쓰는 수학글




전에 바나흐타스키 연재글싸다 Run 해버린 핫산이

수학에서 가장 대표적인 오해중 하나인 

' 1+1=2 ' 의 증명에대해 글을 써보고자 해


많은 개드리퍼들이 이 증명이 아주 어렵고 복잡하다고 알고있는데

사실 그렇게 어려운 내용이 아니야

나도 알코올 걸치고 머리안굴리며 발로 쓰는 글이니 가벼운 마음으로 읽어보면 됨











1.jpg


나를 포함한 많은 개드리퍼들이 아직 미래가어둡지 않을때 이 책을 읽어봤을거라 생각함

와!!! 깡총뛰기!!! 와 꽈배기빵 으로 대표되는 이 책은 나왔을때부터 지금까지 사실상 유일한 아동 교양수학서로 정상을 지키고있어




2.jpg





초반부에는 주인공이 수학 조까! 라고 징징되는 내용이 반복되지

주인공이 왜 당연한걸 일일이 따져야하는데? 라고 질문하니

뿔난 유사수학자놈이 화딱지를 내면서 1+1=2 의증명도 얼마나 어려운지알아? 라고 반문하면서

화이트헤드와 러셀의 증명을 언급하는데 

이때문에 1+1의 증명이 엄청 어렵다고 알고있는 사람이 많을거야




칸토어.jpg


사실 수학자들에게도 1+1=2 의 증명은 그렇게 중요한 것은 아니었어

다만 20세기 초 게오르그 칸토어가 집합과 수리논리의 관한 분야를 창안했고 

칸토어 자신과 버트런드 러셀을 비롯해서 많은 수학자가 수학에 근본에 모순이 있을수도 있다는 사실을 발견했지


이후 몇년간 각각 힐베르트, 브라우어, 러셀을 필두로한 계파들이 자신들만의 방법으로 모순을 해결하려고했어

이게 ㄹㅇ 삼국지인게 서로 싸우고 질질볶았는데

나중에 뜬금없이 진나라가 승리하듯 괴델이 승리해




러셀.png


화이트헤드.jpg



이 중 러셀은 화이트헤드라는 이름값하는 머대리 동료 수학자와 같이 

논리의 근본이되는 전제를 찾기위해 연구를했고 이 결과를 '프린키피아 메쓰메티카 (수학 원리)' 라는 책에 정리하여 출판해

여기에 ' 1+1 = 2 '의 증명을 적어 놓았는데 그게 많은 페이지를 차지하여서 이것의 증명이 어렵다는 오해를 사게 되었어





실제로 현대의  '1+1=2'의 증명은 다음과같아


"페아노 공리계에의해 1+1= 2 이다."


증명 끝.png


페아노 공리계가 뭐길래 이렇게 한줄로 날먹을 하냐 생각이들텐데

페아노 공리계는 쉽게 말하면 1, 2, 3, 4 ... 같은 자연수 체계가 존재한다고 주장하는 논리체계야


약간 의아할수는 있지만 간단히 말하면

1+1=2가 맞다고 전제를 깔고 바로 끝을 내버리는 셈이지

그래도 되냐고? 여러가지 이유가 있긴하지만 어쨋든 괜찮아




첫번째 이유로 이는 물리적 현상과 아주 잘 맞아 떨어져

그러니까 상식적으로 절대 틀릴리가 없으니까 그냥 확신을 갖고 맞을거라 생각한다는거지


두번째로 이게 틀렸다고 가정하면 가정에 맞는 수학체계가 나와야하는데

그러한 수학체계는 존재하지 않는다는거지

좀더 노골적으로 말하면 수학자들이 밥벌어 먹고살수있는 방법이 원래 적지만 

이게 틀렸다고 가정하면 아예 없다는거야





그럼 왜 러셀과 머대리는 수십장을 써서 증명을 했냐고?


왜냐하면 그들은 페아노 공리계보다 더 근본적인 방법으로 이를 증명하려고 해서 그래



우리가 255 라는 숫자를 표현할때 '2' '5' '5' 라는 3 번의 숫자 표현으로 이 수를 나타낼수 있지?

그런대 이진법에서는 이 숫자를 표현하기위해 '1111111' 로 '1'을 7번 사용해야 표현할수있자나



그러니까 러셀이라는 녀석은 일부러 효율이 안좋은 방법으로 증명을 한 것일 뿐이야




counting.jpg



또 수학에서 중요한 사실중 하나는 우리가

수를 '셀수있다' 는거야


현대 수학에 기초가되고있는 ZF 공리계는 

'집합이라는 개념이 존재한다' 라는 사실과 

'A 라는 집합이 존재할때 A를 원소로 갖는 집합이 존재한다' 라는 사실을 전재로 하고있어



폰 노이만.jpg


이걸 이용해서 20세기 최고의 천재 폰 노이만은

집합을 활용해 수를 세는 방법을 고안했는데

이를 단순한 논리기호로 표현하여서 우리가 현재 사용하고있는 숫자를 표현할수 있어


이러한 방법을 통해 자연수가 어떻게 형성되는지

정수, 유리수, 실수, 복소수가 어떻게 생성되는지 차근차근 설명할 수가있는데

이과정은 결코 어렵지 않지만 이들이 만족해야할 조건이 꽤나 많기때문에


우리가 수를 셀수 있다는 사실과 몇가지 당연한 사실만으로 수체계의 존재를 보이려면

많은 량의 종이를 소비할수 밖에없어


이렇게 수체계를 보이고

자연수가 존재함을 통해 1+1=2라고 주장하면 


이것이 좀더 엄밀한 '1+1=2" 의 증명이 되겠지



어쨋든 1+1=2의 증명은 귀찮지만 결코 어려운 내용은아니고

본질적으로 우리가 참이라고 가정하는 전제해서 증명해






-

2줄요약



1. 1+1=2 증명은 간단히 말하면 2를 1+1이라고 정의하는 것이다

2. 사실 수학은 이게 참이라고 가정하고 들어가는거나 마찬가지이므로 귀찮을순있어도 어렵지 않다



술마시고 집안일하면서 써서 중간에 논리점핑하거나

오타 개소리있을확률 매우 높음




  












29개의 댓글

2018.02.26
아재.....
0
2018.02.26
흥미로운데 더 길고 자세하게 써주실수잇나여
0
내친구중에 1+1=2 가왜 2냐고 물어보는애한테 그게 그냥 2가 1+1 이니깐 그렇다 라고 말해줘도 어째서 라고 계속 묻는애 있는데 개때리고 싶던데;
0
2018.02.27
@있는닉네임아없자나
어째서인거야?
0
2018.02.28
@있는닉네임아없자나
그럴땐

넌 대가리가 나빠서 낫놓고 ㄱ자도 모르는 새끼니 말해줘도
모른다. 라고 해.

그런데도 왜? 하고 물어보면 그새끼는 너를 가지고 노는거임
진짜 몰라서 묻는게 아니라

그때는 너도 모르는척 해.
왜? 하고물어보면

언제 그랬냐는듯이 뭐가? 하고 대답해.
그러면 니친구는 당연히 1+1은 왜 2야?
하고 묻겠지?

그럼 너는 대답해 ''몰라. 왜 2야?'' 하고 되물어
이게 반격임
1
2018.02.27
일더하기일은 창문인데
0
2018.02.27
1+1은 귀요미인데
0
2018.02.27
철수가 사과 한개를 샀고 영희도 사과한개를 샀다 이들이 산 사과의 합은 몇개인가?

1+1증명끝
0
2018.02.27
수알못인데 혹시 이러면 순환논법처럼 되는거 아니야?
0
@Rhesus
삼단논법처럼 증명을 하려면 기초가되는 명제가 필요한데
증명없이 우리가 참이라고 믿는 명제를 공리라고함

수학은 공리에서 시작해서 논리적으로 증명을 쌓아가는데
1+1=2가 사실상 공리라서 그냥 참이다 - 이게 사실상 현대수학에서 1+1=2의 증명이라는 소리

밑에 ZF 공리계와 폰 노이만 이야기하면서 집합만으로 이를 표현할수 있는데
이게 더욱 원론적이고 엄밀한 증명이 되겠지만
사실상 '그냥 참인데?' 라고 주장하는거랑 유의미한 차이가 없음
0
2018.02.27
컴퓨터 계산기에 1+1를 쳐보면 증명 끝
0
2018.02.27
이런거 볼때마다 수학도 재밌겠네 하는데 막상 잡으면 문제 풀때마다 스트레스 팍팍받음 ㅋㅋㅋㅋ
0
2018.02.27
수학보단 철학 보는 느낌이다
0
2018.02.27
아조씨 뭐하는 사람이야?
0
@원숭이양말
중졸만 못한 백수요
0
2018.02.27
[삭제 되었습니다]
@Pessimist
간략한 버전은그런데
밑에 폰노이만 언급한 버전은 몇가지 공리만으로 우리가 아는 자연수 체계를 만들어낼 수 있어
공집합을 a라고 표현할때 공집합은 0에 대응시키고 {a}는 1
{{a},a} 는 2 {{{a}, a}, a} 는 3 이런식으로 각 숫자들을 대응시킨다음에
여러가지 대응과 관계를 형성시켜서 자연수와 사칙연산을 만들어내서

이러한 체계안에서는 자명히 1+1=2 이다 라고 주장해

그런데 이러한 체계에서 우리가 Counting 수를 세고 인식할수 있다는 가정,
수학에서의 ZF 공리계와 논리적 공리로 이러한 논리를 건설할수있다는 가정이 들어가는데
여기서부터 더 깊게파는건 철학자들의 영역이고
수학적 논의의 대상에는 속하지 않는다고 생각함
0
그래서 최종학력이?
0
2018.03.04
@백글자이상 안말함
그래서 답글달은 사람 최종학력은?
0
@ten42
눈있으면 쟤 닉네임이나 처읽어바라
0
2018.03.04
@백글자이상 안말함
나는 너 최종학력 물어봄
0
@ten42
? 난 머학생
근데 외?
0
2018.03.04
@백글자이상 안말함
그냥 궁금해서
0
2018.02.28
2 아니고 귀요미거든요? 빼애애애애액!!
0
오빠 오빠 1더하기 1이 뭔지 알아?? 그건 바로..
(엄근진) 그건 어쩌구 저쩌고
헤어져
0
2018.03.01
ㄷㄷ 서울대아재
0
나는 1 이라는게 지구에 하나 있는 존재라 생각해서 1+1이 성립 안된다 생각함
걍 잡설임
0
2018.03.03
@밀리터리백내장밥솥
네가 말하는 ‘하나’와 수학에서 말하는 1이 다르기 때문에 너의 주장이 성립하지 않음

1인칭 + 2인칭 = 3인칭이 아닌 이유는
이 경우의 1,2,3이 수학의 1,2,3과 다른 의미이기 때문임
너의 1도 마찬가지이고
0
2018.03.02
수학도 인간이 생각해낸 개념인데 거기서 풀리지않는문제가 생기고 머리싸매고 증명해야하는게 생기는게 신기함

소설에 넣어논 인물을 작가도 그의 정체성을 모르는느낌?

쓰고보니까 글에서 문돌이냄새나네
나 이관뎀
0
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