이 시리즈는 수학에 대한 흥미를 고취시키기 위해서 연재 됩니다.

본편은 사칙연산만 알고 있어도 대부분 이해할 수 있는 내용이니

복잡한 기호에 놀라 뒤로가기를 누르지 마시고 읽어주시길 바랍니다.

 

 

(옆에 이상한 기호는 무한히 더한다는뜻)

 

 

위의 식들은 전부 수렴할까?

 

 

 

그 답은

 

 

놀랍게도 하나 빼고 전부 수렴한다. 

특이한건 그 수렴값도 전부 무리수라는것이다.

유리수를 무한히 더하면 그 값은 무리수라는 기묘한 결론이 나온다. 지금부터 하나씩 증명해보자

 

 

1. 자연수의 역수의합

 

 

 

모든 자연수의 역수의 합은 무엇일까?

답은 무한대이다.( 엄밀히 말하면 무한대로 발산한다)

이는 수학자 오렘이 증명해 보였다.

여담으로 이분은 1/2^n의 무한합과 n/2^n의 무한합이 같다는 걸 최초로 증명해내신 분이다.

이것에 관해서 내가 쓴 글도 있으니 알고 싶으면 읽판에 검색해 읽어 보시라.

 

어떤 수가 무한대보다 크다면 어떤수는 무엇일까?

답은 알 수 없지만 무한대 일 것이다.

이 아이디어를 활용해 오렘은 약간의 기교를 부려 증명하였다.

 

 

 

 

먼저 1/3+1/4+1/5.....를 두개,네개,여덟개....씩 묶고 (1번식)

그 안에 수들을 전부 1/4, 1/8 로 교체해 보자 (2번식)

2번식은 결국 1+ 1/2+1/2..... 이니

1+1+1+1..... 인것이고

이는 무한이다

결국 자연수의 역수의 합은 무한대보다 크니

자연수의 역수의 합은 무한이다. 증명 끝

 

수학의 정석에도 실려있을 정도로 꽤나 유명한 증명방법이다.

더 고차원적인 방법으로 적분판정법이 있지만 그냥 생략하자

 

2. 자연수의 제곱의 역수의 합

 

그렇다면 자연수의 제곱의 역수의 합은 어떨까?

 

1/1 +1/4 +1/9....... 의 답은 무엇일까?

위 급수가 수렴한다는건 매우 오래전 부터 알려져 있었다.

그 증명의 시초는 정확히 알 수 없으나 

베르누이가 처음으로 언급했다고 알려져있다.

 

 

어디서 많이 들어 본 이름이라고 생각한다면 십중팔구 물리에서 들었을 것인데

베르누이 원리와 방정식을 만든 그 베르누이씨의 조카 되시는 분이 바로

이분이시다.

씹이과엘리트 집안 답게 대대로 수학적, 과학적 업적을 아주 많이 남겼다.

참고로 이분은 이걸로 유명하기 보단, 오늘날 통계학의 기본을 이루고 있는

'큰수의 법칙'을 최초로 증명하신 분이다.

여하튼

 

 

일단 값을 구하고 나발이고 하기전에 수렴, 즉 무한대가 아니라 특정한 값으로 튀어나온다는 것부터

증명해야 할 것 아닌가.

그것을 증명한 아이디어는 오렘의 아이디어를 살짝 비튼것이다.

만약 어떤수가 10보다 작다면? 8이든 9든 6.9이든 10보다는 작겠지만 필경 무한대는 아닐것이다.

베르누이는 위 급수가 2보다 작다는것을 증명해 보였다.

다음 식을 보자

 

 

 

1번식에 1을 제외한 나머지 수들을 전부 2번식 처럼 바꿔주었다.

 

2곱하기 2는  1곱하기 2로

3 곱하기 3은 2곱하기 3으로

곱하는 수를 하나씩 살짝 낮춰준 것이다.

이렇게 바꾼 2번식은 1번식 보다 당연히 크다. 왜냐하면 분모가 항상 더 작으니까

2번식을 깔끔하게 정리하면 마지막 식이 된다.

 

 

 그럼 마지막 식을 구해보자

사실 입시수학에서 손을 뗀지 몇년 안됬다면 보자마자 바로 풀 수있겠지만

안 그런 독자들이 더 많을 테니 하나하나 설명해 보겠다.

1/n(n+1)은 1/n- 1/n+1 로 바꿔줄 수있다.

왜그런지 모르겠으면 위 식을 계산해 보자.

그렇게 나온식에 숫자를 대입해 주구장창 전개하면 맨 아래와 같은 식이 나온다.

자 무엇이 보이는가?

 

그렇다 -1/2 과 1/2, -1/3과 1/3 이 짝지어서 지워지는걸 확인 할 수 있다

이렇게 무수히 지워나가다 보면 결국 다지워지고 1밖에 남지 않는걸 확인할 수 있다.

(조금더 엄밀히 설명하자면 시그마 1/n(n+1)의 부분합은 1-1/(n+1) 이 되고 n을 극한으로 보내면 1이 된다. )

 

결국  

 

다음과 같은 결론에 의거 1/n^2의 무한급수는 2보다 작음을 알 수 있다.

실제로 계산된 값도 대략 1.6 이니 맞는 결론이라고 볼 수있다.

자 그럼 그 정확한 값은 무엇일까?

천재 수학자 베르누이는 끝내 그것만큼은 계산해내지 못했고,

이 문제는 '바젤 문제'라고 명명 되어 100년 가까이 수학자를 괴롭힌다.

왜 바젤문제냐면 베르누이가 교편을 잡던 대학 이름이 바젤대학이였기 때문이다.

한국으로 치자면 '연세문제', '고려문제','경희문제' 쯤 되는 네이밍이다.

 

100년정도 지난 시점에 

인류 역사상 밸런스 붕괴 수학 씹 사기캐 오일러씨가 증명하게 되고

그 값은 놀랍게도 6분의 파이제곱,  즉 무리수가 나온다.

이에 삘받은 오일러씨는 1/n^26, 즉 자연수의 26제곱의 역수의 무한합까지 

구해낸다.

어떻게 증명했을까?

 

오일러가 증명한 방법은 지금까지 알려진 20여개의 풀이중에서 가장 쉬운 방법이다.

놀랍게도 그는 사인함수, 삼각함수에 나오는 바로 그 사인함수를 통해서 증명해 내었다.

그 방법에 대해서는 다음편에.....