자 앞서 말한

서양 수학의 기초인 유클리드 기하학을 보자.

 

앞서 말했듯 유클리드가 정의해 놓은 공준적 연역관은

5가지의 공리만으로 수백가지의 명제를 도출해 내는 구조이다.

 

서양 수학자들은 이 구조를 천오백년 가까이 물고빨고 했다.

이런 구조를 기하학 뿐만 아니라 대수학,

즉 방정식 가지고 장난치는 그런 수학에까지 전방위적으로 적용했다.

자 근데 하나를 묻자

 

위 5가지 공리가 맞다는 근거는 무엇인가?

 

..... 사실 어떤 수학자도 깊게 고민 안한 사실이다.

위 5가지 공리를 찬찬히 읽어보면 다 당연한 얘기인것 같아서

별로 반박하고 싶지도 않다. 그냥 원래 그래! 라고 하기에 딱 적합한 명제들이다.

그런데 일부 수학자들은 5번째 공리에 의문을 조금씩 품기 시작했다.

5공리를 조금 더 쉬운말로 바꿔보면

"직선밖의 임의의 한 점을 지나고 직선과 평행인 직선은 유일하다"

 

즉 '임의의 직선에 대해 특정점을 지나는 평행한 직선은 유일하다'

라는 공리이다.

평행선의 유일성을 담보하는 공리로 솔직히 당연한 말 같다.

A4용지에 어떤 직선을 그려보자.

거기에 대해 평행선을 그릴 수 있음은 자명하다.

그리고 특정점을 지나는 평행성은 하나밖에 없음도 자명하다.

그런데 만약 이것이 틀렸다면 어떻게 될까?

가령 평행한 직선이 두개이상이거나 아예 존재하지 않는 경우가 생긴다면 어떻게 될까?

그런 경우가 과연 있을까?

자 평면이 아닌 곡면을 보자. 우리의 지구 위에서 선을 그린다 생각해보자

 

 

이처럼 처음에 평행선을 그려도 쭈욱 그려나가다 보면 결국 북극 근처에서 한점에서 모이게 된다

 

즉  이 공간에선 평행선이 존재하지 않는다!!

 

그럼 평행선이 반대로 무수히 많은 경우도 있을까?

로바체프스키는 쌍곡면에서는 무수히 많음을 보였는데 생략하도록 한다.

어쨌든 있다.

 

로바체프스키,보여이,리만은 5번째 공리를 부정하고 새로운 공리체계를 바탕으로 만든

기하학인 비유클리드 기하학을 각각 독립적으로 정리해 발표한다.

자 근데 그럼 이게 뭐가 중요하냐고?

공리가 틀릴수도 있음을 보였다!!!

 

공리는 아무런 증명없이 받아들이는 일종의 진리값이다.

그 공리를 바탕으로 논리적으로 수백,수천가지의 명제를 증명해 나가는게

기존 수학자들의 전략이였다.

그리고 그렇게 만들어진 수학의 견고한 세계안에서 살아가는게 우리 수학자들이였다.

 

그런데 그 공리들중 하나를 부정한 수학체계가 있을수 있고 심지어 무모순이다.

수학자들 입장에선 마치 우주에 우리 말고 다른 외계인이 살고있다는걸 알게 된것과

비슷한 충격이였다.

 

사실 비유클리드 기하학의 발견도 우연이였다.

수학자들은 유클리드 기하학을 완성하기 위해 5번째 공리를 연구하고 있었다.

5번째 공리가 '공리'가 맞는지 아닌지에 대한 의혹이 꾸준히 제기 되었고

다른 네가지 공리를 이용해 이를 규명하려 시도했지만 도저히 증명되지 않았다.

그래서 그들은 다른 전략을 취했는데,

바로 5번째 공리를 부정하면 수학 체계에 모순이 생김을 활용해 공리임을 증명하려 했는데.......

 

 

짜잔! 오히려 무모순의 새로운 수학체계가 완성된 것이다!

이게 얼마나 큰 문제이냐 하면

전편에서 말했듯이 플라톤은 수학적 지식이 미리 정해져 있다고 주장했고

후대 수학자들은 이를 굳게 믿고있었다.

그런데 미리 정해져 있는줄 알았던 공리가 맞아도,틀려도 별 문제 없다는게 밝혀지면서

이런 믿음이 뿌리채 흔들리게 된것이다!

과연 수학적 지식은 신이 정해놓은 절대적 진리인가?

아닐까? 그리고 그걸 인간이 알 수 있을까?

 

논리주의자의 등장

 

1+1은 왜 2인가?

하면 기존의 수학자들은

원래 그렇게 정해져있다고 생각했다.

그러나 신적인 위상을 가졌던 유클리드 기하학이 '절대적'이지 않다는 것이 입증되자

곧 이런 믿음의 이탈자가 생기기 시작했다

 

 

이름도 생소한 '프레게'씨이다.

이분은 논리학을 연구하여 수리철학,언어철학의

기초를 완성한 문이과 통합 마스터이시다.

그는 아주 파격적인 주장을 했는데... 바로

 

"수학은 논리학의 일부이다"

 

논리학은 어떤 명제들의 관계를 서술하는 방법에 대한 학문이다

우리가 익히 아는 삼단논법, A가 B이고, B가 C면 A는 C이다

같은 명제의 논리적 흐름을 연구하는 학문이다.

 

즉 수학은 원래 부터 정해져 있는게 아니라

공리의 논리적인 관계를 나타내는 내용에 불과하단것이다.

그렇기 때문에 공리와 그 관계를 조금 바꾸기만 하면 얼마든지 다른 형태의 수학을

창조해낼수 있다.

결국 1+1=2 인것은 그냥 우리가 편의상 정한것이지

원래부터 정해져있다는게 아닌셈이다!

 

우리는 1+1=3으로 정할수도 있었다. 그러나

1+1=2 라고 정한게 더 편해서 그렇게 쓸뿐이다.

감이 잘 안온다면 다음과 같은 예시를 보자.

음수x음수는 양수이다.

라고 중학교때 배웠을것이다

그런데 그 이유를 한번이라도 배워본적 있는가? 왜 음수의 음수배가 양수가 되는가?

이유는 딱히 없다. 단지 현존하는 수학체계에서는 그렇게 정의함이 훨씬 편리하기 때문이다.

실제로 음수x음수를 음수라 정의하는 수체계를 만들수는 있지만 기존의 수체계보다

훨씬 복잡해진다. (실제로 분배법칙과 결합법칙등 상당수의 기본법칙들을 다 갈아엎어야 한다)

 

아무튼 이때부터 이런 주장을 펼치는 사람을 논리주의자라고 한다.

그에 비해 이전의 주장을 펼치는 사람은 플라톤주의자라고 하게 된다.

그리고 논리주의자였던 프레게는

본인의 생각을 증명하기 위해 고군분투 하게 된다.

 

 

나 수포자요, 하는 사람도 반드시 한번쯤은 봤을법한 집합이다.

그야 수학책 맨 첫장에 있고, 쉽기 때문에 적어도 여기까지는 봤을것이다.

그 뒤가 문제지만.....

그런데 의문이 들지 않나? 도대체 쓸일도 없고 단순히 표기만 유용하게 해주는 집합을

맨 첫단원부터 배울까? 그것도 한단원씩 할애해서?

 

 

우리의 프레게씨로 돌아오자.

수학은 자연수와 산술(사칙연산,교환,분배법칙....)을 기반으로 쌓아 올라져가는 체계이다.

따라서 자연수와 산술을 논리학적으로 설명 할 수있다면 수학 전체도 논리학적으로 설명 할 수 있게 되는셈이다.

그럼 이 전략에 따라 프레게는 수학을 논리학의 언어로 규명하기 시작했다.

 

과정을 보자

프레게는 먼저 자연수를 집합을 통해 정의하였다.

그리고  집합과 논리기호를 활용한 논리적 기술을 통해 자연수의 산술을 정의하였다.

그렇게 완성된 체계가 모순이 없고 완전하다면 수학은 논리학적 기술로만

나타낼수 있단 뜻이다.

그리고 이것이 실현된다면?

 

수학적 지식은 더이상 인간이 닿을수 없는 세상 저편 어딘가에 있는 지식이 아니라

인간의 언어로 모조리 해독할 수 있는 알려진 지식이 된다.

 

 

폴 에르되시라는 한 천재 수학자는 이런말을 했다

 

'"신은 모든 수학증명을 자신이 가지고 있는 책에 써놓고 감추어 놓았다.

그런데 가끔 자기가 좋아하는 수학자에게 이 책을 살짝 보여주곤 한다"

 

만약 이런 시도가 성공한다면 그 '책'은 더이상 신의 책이 아닌 '인간의 책'이 되는것이다.

연구끝에 프레게는 1893년 이를 성공하고 발표한다

수학자들은 흥분에 빠졌고 찬사를 보냈으며 머지않아 '신의 책'을 빼았을 수 있을거라는

그대에 부푸는데.....  

 

 

이발사의 역설

 

세비야의 한 이발사는 다음과 같이 선언했다.

"앞으로 나는 모든 '자기 수염을 스스로 깎지 않는 사람들'의 수염을 전부 깎아줄 것이오. 다만 스스로 깎는 사람은 잘라주지 않겠소."

이때 이 이발사의 수염은 누가 잘라줘야 하는가?

 

만약 남이 잘라준다면?  본인이 자기 수염을 스스로 깎지 않는 사람이니 내가 깎아줘야 한다

내가 자른다면? 스스로 깎는사람이니 내가 깎아주면 안된다.

따라서 이발사는 이도 저도 할 수 없는 모순에 직면하게 된다.

 

왠 말장난이냐고? 이런 말장난이 달콤한 꿈에 젖어있던 수학자들에게 찬물을 끼얹는다.

사실 이 이발사의 역설은 '러셀의 역설'을 알기 쉽게 푼 버전이다.

 

(버트런트 러셀)

 

러셀이 딱 하나의 질문을 던지자, 프레게의 이론에 확신을 더해가던

수학계에 파란이 인다. 그 질문은 무엇일까?

자 일단 집합과 원소부터 알아보자

 

 

A는 집합이고 원소는 1,2,3,4,6,12이다

즉 원소의 모임이 집합이다.

그리고 집합은 집합을 원소로 포함할 수있다

{1,2,3} 이라는 집합이 있다면  

{4,5,{1,2,3}} 이런식으로

 

자 그럼 준비가 되었으니 그럼 러셀의 질문을 보 자 

 

 

'A는 자신의 원소가 아닌 모든 집합들만 원소로 가지는 집합이다, 이 때 집합A는 자기자신을  원소로 가지는가?'

 

좀 더 줄이면

 

'A는 A의 원소가 아닌 집합만 원소로 가진다. 이때 A는 A의 원소인가?'

 

이 요상한 질문에 답을 해보자고

 

A가 A의 원소라면

 

1)A는 A의 원소인 집합이다.

2)A는 A의 원소가 아닌 집합만 원소로 가진다 → A는 A의 원소인 집합을 원소로 가질수 없다.(정의)

3)A는 A의 원소인 집합이니 A는 A를 원소로 가질수 없다.

4)따라서 A는 A의 원소가 아니다.

 

A가 A의 원소가 아니라면

 

1)A는 A의 원소가 아닌 집합이다..

2)A는 A의 원소가 아닌 집합만 원소로 가진다

3)A는 A의 원소가 아닌 집합이니 A는 A를 원소로 가진다.

4)따라서 A는 A의 원소이다.

 

(사실 좀 어려움.....)

 

 

무엇을 전제하든 A는 A의 원소이기도 하고 아니기도 한다.

즉 모순이 생긴다!

 

이런 말장난 같은 역설에 수학계는 패닉에 빠진다.

수학을 논리학의 언어로 완전하게 환원시키려는 시도가 완성단계에서

급브레이크에 걸린것이다.

저것만 무시하면 되지 않느냐... 라고 하기엔 수학자들의 자존심이 허락하지 않는다.

결국 수학체계의 허점을 인정하라는 건데, 그러면 다시 원래의 의문에 빠진다.

원래 생각처럼 수학적 지식은 인간이 도달할 수 없는 곳에 있는것인가? 아니면 연구의 부족으로

허점이 생긴것인가? 그야말로 대혼란에 빠진 수학자들은 몇개월 가까이 뺑이를 치다

결국 파란을 일으킨 당사자가 이 혼란을 수습학 된다.

 

 

러셀은 이런 역설이 집합의 정의가 모호함 때문에 일어났다고 설명했다.

당시까지 집합은 애매모호한, 우리가 교과서에서 배웠던

'원소의 모임'로 정의되어 있었다.

그렇기 때문에 '자기 자신을 포함하는 집합' 같이 말장난 같은 집합도 생성이 가능했다.

그래서 그는 집합의 정의를 보강했는데 그는 집합끼리 서열을 부여했다.

0,1,2....같은 개체들은 0계,

0계의 모임, 즉 {0,1,2},{4,5,6}..... 같은 개체들은 1계

0~1계의 모임, 즉 {0,1,{0,1,2}}.......같은 개체들은 2계

이런식으로  말이다.

 

 

 

 

 

(간략하게 나타낸 그림)

 

그렇기 때문에 자기 자신을 포함하는 집합같은건 애초에 만들어질 수 없다.

이를 '계형이론'이라 한다.

이런 땜빵식의 처방으로 다시 수학계는 안도했다.

그러나 다음과 같은 의문을 준다

'계형이론을 부여할 수있는 논리적 근거가 무엇인가?'

다시말해서 수학자들은 어떤 집합의 형성은 인정하고, 어떤건 부정해야 하는지에 대해 아무런 설명없이,

그냥 이렇게 해! 라고 얼버무려 버리고 만것이다.....

이는 수학을 논리적인 언어로 모두 설명하려 한 논리주의자들이 자기모순이였다.

이런 흐름속에 다시 새로운 수학자들이 등장하는데....

 

 

 

잡설)

그리고 어찌됐든 현대수학은 이런저런 일이 있었지만

결국 집합을 이용해서 공리를 만들고 그를 바탕으로 한 수학체계를 구축했다.

우리들이 배우는 수학의 기초를 파고 파고 들어가다 보면 결국 모두 집합으로 이루어져

있다 해도 과언이 아니다.   실제로 1,2,3,4.... 라는 숫자 마저도

집합을 이용해서 정의한다.

그래서 우리는 집합을 제일 먼저 배우는것이다

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인데 중,고교과정에서 그런건 몰라도 지장없으니 사실상 의미가 없다

이를 교수들과 학교선생님들도 인지했는지 결국

지금 교육과정에선 수십년간 지켜오던 지켜오던 1학년 1학기 1단원의 자리에서 쫓겨났다고 하더라.

 

 

3탄에서 계속......