주변에서 복권을 사서 이익을 없다는 얘기를 할때 수학에서의 '기대값'이라는 용어를 자주 차용해서 써

'기대값' 이란 어떤 시행에서 얻을 수 있는 이익과 확률을 곱한 것으로서, 그 시행의 평균적인 이익을 나타내

복권은 그 기대값이 가격의 절반정도 밖에 안되기때문에 손해라는 것이지

그러면 다음 역설을 들어봐 이 문제는 베르누이가 상트 베테르부르크에서 만들어서 상트페테르 부르크의 역설이라고 불러

『

        페테르 부르크에 있는 어떤 도박장에는 다음과 같은 게임이 있었다.

        ▶ 동전을 던져 뒷면이 나오면 계속 던지고, n번째 처음 앞면이 나오면 게임이 종료되고 2^n-1루블의 상금을 지급, 도박의 참가비는 10,000루블이다

                                                                                                                                                                                                      』

다시 말해서 처음에 앞면이 나오면 1루블, 처음에 뒷면 나오고 그 다음에 앞면이 나오면 2루블씩 게임의 시행만큼 액수가 두배로  증가하는 도박이야.

게이들이라면 이 도박에 참여 하겠어?  개 병신이 아니면 참여하지 않겠지?

그럼 여기서 이 게임의 기대값을 계산해 보자

                  ?????

씨/발 이 게임의 기대값은 무한대야.  기대값만 놓고 보면 전재산을 걸어서라도 참여해야 되는 게임인거지 ㅋㅋ

기대값이 무한대인데 아무도 이 게임을 하려고 하지 않는 이 역설은 기대 효용이라는 이론을 도입하게 만들지

" 부의 증가로 발생하는 효용의 증가는 그가 이미 소유하고 있는 재화의 양에 반비례한다.

   그리고 같은 기대값을 갖더라도 발생확률이 적은 사건이 주는 효용은 그 확률에 비례해서 줄어든다."

즉 위의역설에 한 다니엘 베르누이의 해석은 두 번째 동전 던지기에서 피터가 받을 수 있는 2루블의 가치는 첫 번째 동전 던지기에서의 1달러 가치에 두 배에 못 미치고

세 번째 동전 던지기에서 받을 수 있는 4루블의 가치는 두 번째 동전 던지기에서 받을 수 있는 2루블 가치의 두 배가 안된다  라는거지...

결국 이 게임을 통해서 피터가 얻게 되는 효용은 유한할 수밖에 없다는 말이야

 즉 가능성이 적고 실현 값이 큰 확률 사건의 실제 효용은 그 사건의 기대값보다 월등히 작다는 논리임

이것은 이 게임에 상한선을 걸면 알 수 있는데.

이 게임을 유한인 경우로 바꿔서 이 게임에서 받을 수 있는 돈의 상한선이 10억루블로 제한한 게임의 기대값은 16루블이야

최고 한도를 330억조로 올린다고 하더라도 이 게임의 기댓값은 25달러에도 못 미쳐

결국  받는 금액의 기대값을 무한대로 만들어주는 무한급수의 대부분의 항은 어떤 현실성도 없는거지