과학

아래 확률 이야기 보충시간 - 베이즈의 정리



확률은 논리고 직감은 만용이라는 말이 있는데

이를 단편적으로 보여주는 예가 베이즈의 정리라고 생각한다.


베이즈의 정리란 어떠한 사건A가 조건B에서 일어난 경우 그 조건이 A의 확률에 영향을 미친다는 것을 정리한 것인데,

정기적으로 병림픽을 개최하는 몬티 홀 딜레마도 베이즈 정리의 일종이라고 볼 수 있다.


공식으로 나타내면 아래와 같은데


Bayes_theorem_1.png



이딴 머리아픈 공식은 집어치우고 좀 더 쉽게 이해를 해보자. 대부분의 수학이 그렇듯 

대수(algebraric)로 표현한 공식은 전공자를 위한거지 교양용으로 쓰일 게 아니다.



그럼 원론서에 나온 사건을 한 개 예로 들어서 문제를 내 보자



Q. 결핵의 감염 여부를 측정하기 위해 투베르클린 반응검사를 실시한다. 임상실험에 의해 조사 대상자 중 실제로 결핵에 감염된 사람의 비율은 10% 이고, 결핵에 감염되지 않은 사람의 비율은 90% 라고 한다. 결핵에 감염된 사람 중 투베르클린 반응검사 결과 양성으로 나타나는 경우가 95% 이고, 결핵에 감염되지 않은 사람 중 양성으로 나타나는 경우가 10% 라고 한다. 한 사람에게 투베르클린 반응검사를 한 결과 양성 반응이 나타났을 때, 이 사람이 실제로 결핵에 감염되었을 확률은 얼마인가?



정리하자면 표본 중 실제 결핵 감염자는 10%이고, 

결핵검사 결과 양성인 사람을 양성 판정 하는 경우가 90%, 음성인 사람을 양성 판정하는 경우가 10% 라고 한다.

이때 검사 결과 전체 인구 중 양성반응을 받은 사람이 실제 결핵일 확률이 얼마인지를 물어보는 것이다. 

검사의 정확도가 95% 니까 95% 일까?


그렇지 않다. 결과부터 말하자면 51.35%에 불과하다.

그 이유를 알아보자.




먼저 세계 인구가 400명이라 가정하고, 감염자와 비감염자 수를 그림으로 나타내면 아래와 같다.


001.png






이 중 검사 결과 양성으로 나타나는 경우를 표현하면 아래와 같아진다.


002.png





여기까지 이해가 되었는가? 그러면 다시 양성 판정을 받은 사람끼리만 묶어보면 아래와 같은 그림이 된다.

우리는 양성판정을 받은 사람이 실제로 결핵일 확률을 구하고자 하는 것이니까, 총 양성 판정을 받은 인구 중 실제 결핵 인구 비율을 구하면 답이 나오게 된다.


003.png




자 이렇게 문제가 해결되었다. 결핵 환자에 대한 검사의 정확도는 95% 지만 다른 사건인 비 감염자에 대한 오진률이 사건의 확률에 개입하였더니

이러한 결과가 나왔다. 사건이니 개입이니 말은 거창하지만 실제로 이렇게 까놓고 보면 지극히 당연하고 상식적인 내용인 것이다.

위의 복잡한 수식은 이 그림으로 나타낸 과정을 한번에 표현한 것에 불과하다. 

즉 2가지 사건을 결합하고 이 중 구하고자 하는 범위를 한정한 뒤 다시 실제 확률을 구하는 식일 뿐이다.


사람들은 직감으로 해를 구하려다가 이런 함정에 빠져 그릇된 선택을 하는 경우가 너무나 많다. 몬티 홀 병림픽이 아주 좋은 예가 되겠다.

우리 개드리퍼들도 기본적인 확률에 대한 지식은 가져 놓으면 참 많은 도움이 될 것이다. 

확률은 실생활과 Money 벌이, 적어도 Money를 손해보지는 않는 데 아주 자주 활용되는 학문이기 때문이다.


17개의 댓글

2017.12.24
글잘쓴다
0
2017.12.24
차라리 문제를 저런식으로 명시해야지

일반적으로 검사 정확도 = 보균자를 보균자라고 정확히 진단내릴 확률인데
비보균자를 보균자라고 진단내리는 경우는 애초에 없는 항체를 발견해내서 진단내리는 과정인지라 어불성설인거지
차라리 정확도가 아니라 오진률이라고 하던가...

이 밑에 글은 단순한 말장난임
0
2017.12.24
하스스톤 하는 돌붕이 친구들은 덱 승률 통계를 자세히 보면 승패 통계만 보고 낸 승률과 베이시안 승률로 나눠져있는걸 볼 수 있음
0
그림 만드는 솜씨가 보통이 아닌데?? 단계적이고 직관적이며 결론에 딱 귀결된싸싼닷
0
2017.12.25
결핵 환자에 대한 검사의 정확도는 95% 지만 다른 사건인 비 감염자에 대한 오진률이 사건의 확률에 개입하였더니

비 감염자에 대한 오진률이 아니라 감염률이 개입한게 맞는거 아니야?
0
2017.12.25
이글에 의하면 전제 자체에 불확실성이 있어야 되는대 다른애들은 왜 되도않는 글 쓰는거지
0
2017.12.25
나이브 배이즈 설명좀..
0
2017.12.25
배이지안들 너무 시러
0
2017.12.25
베이즈 통계 관련해서 얘기듣다보면,
말이나 글만으론 잘 안 와닿는데 이렇게 그림같은게 있으면 확 와닿더라고 ㅎㅎ

머리가 나쁜 탓인지 원
재밌게 읽었음 ㅎㅎ
0
2017.12.25
베이지안 정리보고 오르가즘 느꼈다 추천!
0
2017.12.26
몬티홀은 베이지안이랑은 좀 상관이 없다
그건 중간에 사회자가 답을 알고 개입하기 때문에 확률이 달라지는거고
그 때문에 눈에 잘 안보이는 경우의 수가 더 늘어나는 것뿐이지 확률 체인이 있는게 아님.
0
2017.12.26
@죽죽
몬티 홀이 베이지안의 대명사격 문제인데.. 몬티홀을 베이지안으로 정리하면 아래와 같아진다. 참고바람.

P(A) = 처음 선택한 문에 자동차가 있을 확률 = 1/3
P(B) = 남은 2개의 문 중 진행자가 특정 문을 열 확률 = 1/2
P(B') = 남은 2개의 문 중 하나에 자동차가 있을 때, 사회자가 남은 하나의 문을 열 확률 = 1
P(C) = 처음 선택하지 않은 문에 자동차가 있을 확률 = 1/3

즉,
P(A|B) = 사회자가 문을 열고, 처음 선택한 문에 자동차가 있을 조건부 확률. = 선택 유지
P(C|B) = 사화자가 문을 열고, 처음 선택하지 않은 문에 자동차가 있을 조건부 확률 = 선택 변경

P(A|B) = 1/2*1/3/(1/2) = 1/3 '문을 바꾸지 않는 경우

P(C|B') = 1*1/3/(1/2) = 2/3 '문을 바꾸는 경우
0
2017.12.26
P(C) = 처음 선택하지 않은 문에 자동차가 있을 확률 = 1/3

이거는 왜 이런거야?
P(C) = 1 - P(A) 이어야 되는거 아니야?
0
2017.12.26
@죽죽
아 내가 말을 잘못했는데 내가 선택한 문 = 1 , 사회자가 여는 문 = 2 , 나머지 하나의 문 = 3 이라고 할 때,
P(C) = 3번 문에 자동차가 있을 확률 = 1/3 임. (사회자가 문을 열기 전 확률)
0
2017.12.27
중간고사 시험범위였는데 아오 힘들었다 베이즈 정리;;
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2017.12.27
@재미없네
통계학의 첫 번째 난관이지 ㅋ
0
2017.12.27
@Sticky
통계학 진짜 힘들더라 ㅠㅠ 난 그래도 개론수준에서 끝나서 다행
0
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