과학

스압) 어려움주의) 자연수가 많을까? 유리수가 많을까? 1부

제논의 역설: http://www.dogdrip.net/157138867

2부) http://www.dogdrip.net/157389500





때는 중세 유럽


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갈릴레오: 님들아 님들아!!






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시민1: ?





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갈릴레오:  내가 방금 개쩌는거 알아냄 ㅋㅋㅋㅋㅋ.  자연수와 제곱수의 개수가  같은거 앎?






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시민1: ??? 






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갈릴레오: 자 한번  봐봐 



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이렇게 1은 1과 , 2는 2의제곱인 4와, 3은 3의제곱인 9와.... 

이렇게 예외없이 무한히 일대일대응시킬수 있잖아

그럼 둘이 개수 같은거 아님????





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시민1:  어..... 그런가?





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시민2: 뭐래 저새끼 말 무시하셈. 저새끼 지구가 태양 주변 돈다고 주장하는 개빡대가리 새끼임 ㅋㅋㅋㅋ





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시민1: 아 그래요?  ㅋㅋ 그게 말이 되겠냐 등신아? 어? 문과인 나도 안다 으휴




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갈릴레이: ㅠㅠㅠ





때는 시간이 흘러흘러 300년 후



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칸토어: 내가 연구해보니까 갈릴레이 말이 맞는듯



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수학자: ??? 약주하셨어요?



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칸토어: ㄴㄴ.  무한은 유한이랑 달라.  개수를 비교하는 방법도 유한이랑 다르게 정의해야 해.


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칸토어: 내가 정의를 새로 내리겠다.  '무한집합끼리 서로 일대응 대응이 가능하다면  그 집합끼리의 원소의 개수는 서로 같다!'


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시민: 한국말로 좀 ;;;



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칸토어: 자 이 밑의 그림을 봐봐.


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이렇게 서로 예외없이 두 집단을 짝지어 줄 수 있지?

이걸 일대일 대응이라고 함.

그리고 두 집단의 일대일 대응이 가능하다면

두집단의 크기가 같다는거임!

단 두 집단의 크기가 각각 무한할때만!




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수학자: 그 정의에 따르면 갈릴레이의 말도....




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칸토어: ㅇㅇ 맞음. 제곱수의 개수와 자연수의 개수는 같음!

갈릴레이가 주장한건 역설이 아니였던거임 ㅋㅋ ( 그 당시까지는 갈릴레오의 역설이라고 불렀다.)


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시민: 헐 대박



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칸토어: 이런 논리로 대응시켜보면 짝수와 자연수의 개수도 같음!




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시민: 아니 짝수는 부분이고 자연수는 전체잖아요. 부분과 전체가 같을 수 있어요?




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칸토어: 무한의 세계에선 가능하답니다 ㅎㅎ. 그리고 또 퀴즈, 자연수와 정수의 개수는 같을까?




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수학자: 정수가 더 많지 않을까?  정수는 음수와 0이 있으니까... 




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칸토어: ㄴㄴ 둘이 개수 같음 ㅋㅋ



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자  1을 제외한 짝수는 양수, 홀수는 음수에 대응시킨다는 규칙으로 대응시켜 나가면...




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수학자: 헐! 일대일 대응이 되네!  그렇다면 정수와 자연수는....




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칸토어: ㅇㅇ  정수와 자연수의 개수는 서로 같음!  직관적으로는 받아들이기 힘들겠지만 ㅎㅎ




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수학자: 그럼 질문 있습니다. 자연수와 유리수의 개수는 서로 같나요?




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시민: 에이 아무리 그래도 그렇지,  1/5 , 0.4324  이런걸 자연수랑 어떻게 대응시켜요 ㅎㅎ




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칸토어: ㅎㅎ 과연 그럴까요? 자,  유리수의 정의가 뭐지?




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수학자: 정수/정수 로 나타낼수 있는 수요.





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칸토어: ㅇㅇ 그럼 


표를 그려봅시다.


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자 이렇게 가로축의 숫자는 분모, 세로축의 숫자는 분자에 넣는다는 규칙으로 이렇게 표를 쭈욱 그려봅시다.



이 다음에 이 칸에다 순서대로 자연수를 채워보면





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짜잔!



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칸토어: 1은 1에,  2는 1/2에, 3은 3에,  4는  1/3에..... 이렇게  일대일 대응이 가능함!

즉 양의 유리수와 자연수의 개수는 같음!  

부호가 바뀌어도 이 관계는 동일할테니 음의 유리수와 음수의 개수는 같음!

0은 0에 대응 시키면 되니 결론은.....




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수학자: 헐! 유리수와 정수의 개수는 같네!  




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칸토어: ㅇㅇ  자연수와 정수의 개수는 같고,  정수의 개수는 유리수의 개수와 같으니.....




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시민: 하핫 이건 문과인 제 전문이네요 ㅎㅎ  삼단논법에 의거, 자연수와 유리수의 개수는 같다!




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시민: ????? 헐 시발




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칸토어 :  제곱수의 개수= 짝수의 개수=홀수의 개수 = 자연수의 개수 = 정수의 개수 = 유리수의 개수  ㅇㅇ




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수학자: 헐 쩐다. 이런걸 어떻게 생각했어요?




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칸토어: 그러니까 천재죠 ㅎㅎ




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수학자: ;;




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칸토어: 여기서 끝난게 아닙니다!  자연수가 많을까요? 실수가 많을까요?





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시민: 아 몰라요;; 유리수랑 개수 같은거 보니  실수랑도 개수 같지 않을까요?




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칸토어: 그건 계속 생각해봐도 모르겠어서  개수가 같다고 가정하니까  모순이 생기더라고요.

전문 용어로 귀류법이라고 하죠 ㅎㅎ



자 먼저 0과 1 사이의 실수와 자연수가 일대일 대응된다고 가정해봅시다.

그리고 아무런 실수나 써서 대충 대응시켜 봅시다. 이렇게


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그리고 대각선에 적혀있는 숫자만 모아서 또다른 수를 만들어 봅시다.





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칸토어: 그다음에 이 숫자를 변형시켜 봅시다.  규칙은 단 하나!  각 자리수 마다 그 숫자를 제외하고 아무런 숫자로 바꾸면 되는겁니다.

예를 들어  0.123 이면 첫째자리는  1빼고 아무거나, 둘째자리는 2빼고 아무거나, 셋째자리는 3빼고 아무거나

0.245, 0.369, 0.531  이렇게 아무거나 다되지만  0. 134, 0.324 , 0.453, 0.124 이런건 안되는 거임!





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짜잔 그러면  새로 생긴 0.746894310875......는




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수학자: 헐!  그 어떤 숫자든 적혀있는 숫자와 최소한 한자리는 다르겠네요!



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칸토어: ㅇㅇ 실수는 자연수와의  일대일 대응에서 최소한 한개의 예외라도 찾아낼수 있으니 일대일 대응이 아님!

고로  '실수는 자연수보다 개수가 많음!'




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칸토어: 정리하자면   개수는  자연수=정수=유리수< 실수




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수학자: 와...... 진짜 신세계다. ㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷ  님 진짜 천재네요 ㄷㄷㄷㄷㄷㄷ





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칸토어: ㅎㅎ ;; ㅋㅋ




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시민: 아 근데 님, 질문 있어요!




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칸토어:?????




2부에 계속



(쉽게 풀어쓰느랴 비전문적인 내용이 가미되거나 엄밀한 사실이 곡해되었을수도 있습니다. 양해바랍니다)



19개의 댓글

2018.03.17
실수부터 뭔소린지 모르겟지만 꿀잼
0
2018.03.17
자연수도 저 실수 예제에서 0.만 빼버리면 똑같은짓을 할 수 있잖아
저 예제로는 납득이 안가는데
0
2018.03.17
@유쿤
내가 중요한 표현을 빠트렸네.
하나는 '일대일대응이 하나라도 된다면 두 집합의 원소의 개수는 동일하다'
하나는 실수 증명에서 (0,1)에서의 실수와 자연수의 개수는 동일하다라고 가정하는것

ㅈㅅㅈㅅ 막 쓰다보니 중요한 부분에서 누락이 일어났음.
이걸 고친다면 납득이 될거야
0
2018.03.17
@유쿤
혹시 그래도 헷갈릴까봐 첨언하자면
만약 0을 빼버리면 그냥 자연수가 되잖아
자연수는 어떤수를 자의적으로 만들어낼수가 없어
예를 들어 수를 오름차순으로 대응시킨다 하자.

자연수는

0 -> 123
1 -> 124

이렇게만 가능하지 123과 124사이의 숫자를 집어넣을수 없잖아?

근데 실수로 영역을 확장하면

0 -> 123.1288833868
1 -> 123.128883386812132131

이게 가능하잖아.
그래서 대각선논법은 실수에서만 적용되고
자연수에서는 적용이 안됨
특히 구간을 제한시키면 더더욱 안됨.
구간을 제한시키고 직접 해봐.
바로 이해가 될거야
0
2018.03.17
저 증명대로라면 유리수랑 자연수는 일대일 대응 아닌거 아님? 1/2가 2/4, 3/6...이러케 여러번 중복해서 나오는뎅
0
2018.03.17
@흐아앙
그럼 중복되는건 빼버리고 생각하면 그만인 것
0
2018.03.17
@순수한아조씨
오잉 그럼 저렇게 증명하면 자연수>유리수인것?
0
2018.03.17
@흐아앙
않이 중복되는부분은 빈칸으로 놔두고 자연수 일대일대응시키면 결과는 같자너
0
2018.03.17
@순수한아조씨
근데 굳이 안비우고 저런식으로 하면 자연수>유리수라 할수있는거아닌가ㅋㅋ
좀 비약일라낭
0
2018.03.17
@흐아앙
안비우면 유리수를 중복해서 세는건데 성립이 안되지
0
2018.03.17
@흐아앙
일대일대응이 '하나'라도 존재하면 개수가 같다고 하는게
칸토어가 내린 정의야.
너말대로하면
짝수와 자연수에서
1 2 3 4 5.........
4 6 8 10 12.......

2가남으니 짝수가 더 많네?
라고 말할수도 있음
어떻게든 노오력해서 일대일대응을 만들면
수가 같다고 볼 수 있다!
이게 칸토어의 생각임.
0
2018.03.17
@엥거기완전
오호 그렇구낭 ㄳㄳㄳ
0
2018.03.18
진짜로 뭔 소리인지 하나도 모르게따 ㅎㅎ
0
2018.03.18
대충 이해는 간다 ㅁ
약간 궤변같은 느낌이 나긴 했는데 1:1 대응 가능하면 무한이라는 특성으로 그냥 같아져버리네;
범위로 생각하면 안되는 느낌.. 신기한데 쓸모없당
0
2018.03.18
전교꼴찌로 공고졸업한 백수인데 뭔소린지 모르겠당 ㅎㅎㅎ
0
2018.03.19
ㅎㅎㅎㅎ 와 정말 그렇네(동공지진)
0
2018.03.20
동아리에서 이거 논술 문제로 줬었는데
0
2018.03.21
이과놈들 논리마저 넘보려 하다니 어디까지 가져갈 셈인가
0
2018.03.21
무한이라는 것 때문에 역설이 엄청 많았나보네
0
무분별한 사용은 차단될 수 있습니다.
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