과학

(수학, 소개글) 여보게, 도대체 힐베르트 공간이 뭔가?




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다비드 힐베르트 (1862-1943)


수학 소개글에서 단골로 등장하는 수학자 힐베르트가, 어느 날 제자와 함께 한 학회에 참가했을 때의 일이야.

그날 발표된 논문들이 하나같이 힐베르트 공간이 어쩌구저쩌구 하는 내용이었다고 해

발표를 듣고 있던 힐베르트가 궁금증을 참지 못 하고 제자에게 물었어

"여보게, 도대체 힐베르트 공간이란 게 뭔가?"






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오늘은 수학 개념 말고 수학자에 대해 소개글을 써 보려고 하는데,

전에 썼던 역설 글, 물리 소개글, 그리고 초월수 글에서 단골로 나온 힐베르트 아저씨를 먼저 소개해 볼게


수학의 분야는 크게 정수론, 해석학, 대수학, 기하학으로 나뉘어

물론 이는 고전적인 분류 방법이고, 현대에는 많은 분야가 추가되는 동시에 통합적인 학문도 만들어졌지

예를 들어 해석적 정수론, 대수기하학 등등이 그것이야

여기에 위상수학, 집합론 등등이 추가되면서, 위에 그림이 보여주듯이 현대 수학은 분야가 셀 수 없을 만큼 다양하지


아르키메데스, 뉴턴, 가우스가 대단한 수학자인 이유 중 하나가,

수학의 어떤 분야도 가리지 않고 정통했기 때문이야

이러한 만능 수학자는 사실상 현대 수학계에선 찾아보기 힘들지

과거 수학자보다 머리가 나빠서가 아니라, 현대의 수학 분야가 고도로 발달했기 때문이야






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수학자들이 마지막 만능 수학자를 얘기할 때,

빠지지 않는 두 명이 바로 프랑스의 푸앵카레독일의 힐베르트

역설 글에서 소개했듯이 이 둘은 20세기 수학을 대표하는 수학자인 동시에 철학적인 라이벌 관계였지

마치 아인슈타인과 보어라고나 할까






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책 천재들의 수학노트에서는 힐베르트를 이렇게 소개해.


힐베르트는 수학의 거의 모든 분야에서 활약한 만능 수학자였으며, 자신이 연구한 분야에서 획기적인 이론을 많이 발표하였다

특히 불변식 이론, 대수적 정수론과 유체 이론, 기하학 기초론, 적분 방정식론, 변분법 등에 크게 공헌하였으며

물리학을 공리화 하려는 원대한 시도도 하였다.

그는 아인슈타인과 독립적으로 상대성 이론을 유도하였으며, 

말년에는 수학의 기초에 대한 연구인 '힐베르트 프로그램'을 통해 수리논리학을 발전시키는 계기를 만들기도 하였다.


대충 읽어봐도 뭔 말인지는 모르겠지만, 대단한 수학자임에는 틀림이 없나 보네.

설명에서 나왔듯이 힐베르트는 순수 수학과 응용 수학은 물론 물리학에도 정통했던 수학자야

뉴턴이나 가우스 등 다른 만능 수학자들도 순수 수학과 응용 수학을 가리지 않고 연구했고 물리학에도 공헌한 것으로 유명한데,

힐베르트 역시 분야를 가리지 않은 걸 보면 마지막 만능 수학자라는 수식이 아깝지 않네. 


이런 수학적 업적과는 별개로, 그는 수학사상 가장 얼빠진 수학자로 꼽힌다고 해.

힐베르트의 업적을 소개하기 보다는, 그의 일화를 몇 개 더 소개할게.








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힐베르트가 독일의 괴팅엔 대학교에서 학생을 가르칠 때의 이야기야

수업에 들어간 힐베르트가 한 학생의 자리가 비어있는 것을 발견하고 다른 학생들에게 무슨 일인지 물었어

다른 학생들은 그 학생이 시인이 되기 위해 수학자를 포기했다고 말했어

그를 듣고 힐베르트는 이렇게 말했지

"잘 됐군. 그 친구는 수학자가 되기엔 상상력이 부족했지."








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힐베르트가 괴팅엔 대학에 있을 당시, 독일은 나치가 정권을 잡으면서 독일 모든 대학에서 유태인들을 쫒아 냈어

양자역학의 창시자이며 독일 과학계를 대표하는 물리학자 막스 플랑크는, 

히틀러를 만난 자리에서 나치의 유태인 교원 추방 정책을 재고해 달라고 요청했어.

그러나 히틀러의 대답은 이러했지


"국가 정책은 과학자라고 하여 예외가 될 수 없습니다. 

만약 유태인을 추방하여 독일의 과학이 전멸한다면 우리는 과학 없이 버텨나갈 것입니다."


괴팅엔 대학에서도 유능한 유태인들이 모두 쫒겨 났지

나치의 교육부 장관이 힐베르트에게 물었어

"유태인들을 모두 쫒아냈으니 이제 괴팅엔 대학교의 수학과도 많이 발전하고 있겠지요?"


장관의 질문을 들은 힐베르트의 대답이 걸작이지

"괴팅엔의 수학이요? 이제 그런 것은 없습니다"








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일생 수학밖에 모르던 힐베르트지만, 또 그의 제자 사랑은 남달랐어

하루는 힐베르트의 제자 한 명이, 그 어렵다는 난제 리만 가설을 증명했다는 논문을 발표해서,

힐베르트에게 검토를 부탁했어.


힐베르트 역시 지금으로부터 500년이 지난 후에 가장 알고 싶은 게 뭐냐는 질문에 

"리만 가설은 풀렸습니까?" 라고 물어보겠다고 할 만큼 관심이 많은 문제였지

하지만 논문에 치명적인 오류가 발견되어서 증명은 인정되지 않았다고 해.

그 일이 원인인지는 알 수 없지만 이 제자는 1년 후 병으로 세상을 떠났고, 장례식의 조문사를 힐베르트가 맡았어.


장례식 당일, 고인의 친지들과 동료 학생들이 지켜보는 가운데 힐베르트가 조문사를 읽었어

"그토록 뛰어난 인재가 자신의 연구를 완성하지 못하고 젊디 젊은 나이에 우리의 곁을 떠나간 것은, 정말로 비극이 아닐 수 없습니다.

고인은 생전에 리만 가설을 증명하는 논문을 작성했습니다.

거기에는 약간의 오류가 있었으나, 약간의 수정을 거친다면 증명이 완성될 가능성은 여전히 남아있습니다."

어느새 장지에는 비가 내리기 시작했고, 조문객들은 더욱 숙연해졌지.

힐베르트는 격양된 목소리로 다음 구절을 읽었어.

"자, 그럼 지금부터 복소함수에 대해 생각해봅시다."




23개의 댓글

2018.01.05
힐베르트 공간 저번학기에 양자역학 들으면서 계속 나와서 도데체 무슨 소린가 했었음.
대충 힐베르트 공간안에 정의된다 = 선형성을 가진다 하고 비슷한 이야기같은데 잘 모르겠더라.
0
2018.01.05
@hrmt
ㅋㅋ 나도 모름
0
2018.01.06
@hrmt
ㅋㅋㅋㅋㅋ 양자역학 뭐 화학쪽에서 배운건가? 물리에서 배운거면 커버할텐데 샹카르 읽으면 잘 설명함
0
2018.01.06
@t1042
물리에서 Griffiths꺼로 배웠는데
자연수가 덧셈과 곱셈에서 닫혀있듯이 백터의 내적에서 닫혀있는공간이라고 하고 넘어가던데.
0
2018.01.06
@hrmt
Griffiths 수학이 좀 별로임 Shankar 나 Sakurai 추천
근데 Griffiths E&M 은 꽤 괜찮음
0
2018.01.05
Complete Inner Product Vector Space요
0
2018.01.05
그래사 힐베르트 공간이 뭐요?
0
2018.01.06
@고3 나부랭이
ㅇㄱㄹㅇ…
0
2018.01.06
@고3 나부랭이
Complete Inner Product Vector Space요
0
2018.01.06
@사실중졸임
완벽한 내적 상산 벡터 공간? ?뭔소리야??
0
2018.01.06
@고3 나부랭이
Complete는 완비성이란는건데 수학 전공할거 아니면
딱히 따질 필요도 없고 대충 항상 만족하는거라 무시하면되고
그냥 내적주어진 벡터공간이라 생각하면됨

그거 일반화해서 추상적으로 다루는게 힐베르트 스페이스임
0
2018.01.06
@사실중졸임
그래서 힐베르트 공간이 뭐요...?
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2018.01.06
@불행인
Complete Inner Product Vector Space요
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2018.01.06
마지막에 조문사에서 복소함수 말하는건 무슨 의미야?
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2018.01.06
@메에롱
문맥상 좀만 수정하면 증명되는데 안타깝다고 끝내야 하는데 흥분해서 그자리에서 생각해보자고 말을 한게 웃음포인트 아닐까
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에드...,오....빠....
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2018.01.07
문돌) 뭐야 흔한 도라이천재잖아
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전에 체스 퍼즐 올린적 있지않나??ㅠㅜ 그거 혼자 풀어볼려고 고민하다가 답보는거 까먹고 볼일 봤는데 지금 글 찾아보려고 하니까 없네... 2번 움직여서 체크 메이트 만드는 문제였는데 ㅠ 형이 올린거 아니야?
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2018.01.07
@달총님날가져요
내가 올린 거 맞는데 답 더 안 올라와서 지워버림;; 미안
기억나는 퍼즐 있으면 답 알려드림
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@테플로탁슬
얼핏 기억나는거라곤 퀸 룩 + a 로 체크메이트 선으로 한 수 두고 상대 한 수 나 한 수 두고 체크메이크 만드는 문제였으 ㅠㅠ 상대 킹이 약간 중앙쪽으로 나와있고 내가 백일 때 기준 상대 킹은 e5 정도 위치에 있었고 내가 써야 하는 퀸은 a4나 b4 정도에 있었고 내 킹은 룩캐슬링해서 룩 한칸빠지고 d8정도에 있었던거 같음 .. 내 기억으론 이게 한계다
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2018.01.07
@달총님날가져요
https://www.futilitycloset.com/?s=by+sam+loyd+mate+in+two

혹시 이 중에 있음? 여기서 거의 다 가져 온건데
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@테플로탁슬
찾았다 땡큐
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수학을 얼마나 아세여?
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