기타 지식

수학) 개드립에 올라온 조화급수 문제의 기하학적 해법

일단 원본 링크

https://www.dogdrip.net/176271589

 

해법의 원 출처는 해외 유튜브 동영상이야
영어 되는 게이들은 원본 영상을 보는 걸 추천함

https://youtu.be/d-o3eB9sfls
 

그럼 시작하자.

 

 

 

0.jpg

흔히 바젤 문제라 불리는 조화 급수의 제곱의 합 문제는, 원본 글에 나와 있듯이

오일러가 처음 구체적인 값을 제시했고, 나름의 해법도 제시했어

하지만 오일러의 방법이 엄밀한 증명은 아니었지

고등 수학 수준에서 이해할 수 있는 엄밀한 정리는 네이버 캐스트에 등재되어 있어

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3576120&cid=58944&categoryId=58967

 

 

이 글에서 보여줄 것은, 당연히 엄밀한 증명은 아니야

터프하게 식을 유도한다는 점에서 해법이라고 해 봤어

제목에서 말했듯이 초등적인 기하학적 해법이고, 미적분이나 테일러 급수도 몰라도 되니 안심하고 따라가 보자

 

 

1.jpg

 

일단 보이고 싶은 것은 위 식인데, 사실 아래 식과 위 식은 동치야

즉, 위 식이 성립하면 아래 식도 성립하고 아래 식이 성립하면 위 식도 성립한다는 거지

 

2.jpg

 

이유는 이렇게 간단히 보일 수 있어

그러므로 홀수의 제곱의 역수의 합이 파이의 제곱을 8로 나눈 값이라는 것을 보이자

 

 

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들어가기에 앞서 다음과 같은 기하학 공식을 보자

이는 역 피타고라스의 정리(Inverse Pythagorean theorem) 라고 하는 건데

제곱의 합이 제곱이라는 점이 피타고라스의 정리와 비슷하지만,

값의 역수라는 점과 빗변이 아닌 수선의 길이라는 점이 다르네.

역수의 제곱의 합을 따지는 공식이므로 유용하게 쓰일 것 같아.

이 정리의 증명은 이래.

 

4.jpg

 

간단하지?

이 공식을 이용해서 역수의 제곱의 합을 유도해 보자

 

 

5.jpg

 

영상에서는 역수의 제곱을 쉽게 표현하기 위해서 빛의 양이라는 개념을 도입했어

과학 시간에 배웠듯이, 거리가 1만큼 떨어진 곳에서 보내는 빛의 양이 L이면, 거리가 2만큼 떨어지면 빛의 양은 제곱의 역수에 비례, 즉 L/4야

그러므로 그림처럼 1,2,3,4... 거리에 해당하는 점에서 빛을 쏘았을 때, 원점에서 받는 빛의 양의 총합은

 

0.jpg

가 되겠지

 

6.jpg

 

바젤 문제는 원점에서 받는 빛의 양의 합이 파이 제곱을 6으로 나눈 값이라고 주장하고 있어

 

7.jpg

 

이 번에는 둘레 길이가 2인 원을 생각해 보자

 

8.jpg

 

지름은 2/pi 가 되겠고, 원의 꼭대기에 등대가 있을 때 받는 빛의 양은

거리의 역수의 제곱인 (파이 제곱)/4 가 되겠네

 

9.jpg

 

이 번엔 아까 그린 원보다 둘레가 2배 더 큰 원을 원점에 겹치게 그렸어

 

원점과 큰 원에 두 점을 찍어 직각삼각형을 그리고, 두 점에 등대를 설치하면 원점에서 받는 빛의 양은 얼마나 될까?

아까 유도한 역 피타고라스의 정리를 떠올려 보면, 

 

11.jpg

즉 수선의 발 h에 해당하는 값은 아까 구했던 빛의 양이니까

똑같이 (파이 제곱)/4 가 두 등대에서 쏘는 빛의 양의 총합임을 알 수 있어.

(그림에서 원점 옆에 노란 값이 원점이 받는 빛의 양을 표시해)

 

12.jpg

 

둘레를 2배 더 늘려 원 하나를 더 그려보자

45도 비스듬하게 대각선을 그어서 만나는 두 점에 등대를 설치해

이 때 두 점과, 작은 원에서 오른쪽에 해당하는 등대는 다시 한 번 역 피타고라스의 정리가 성립하겠네

 

13.jpg

 

대각선을 마저 그으면 이번에는 작은 원의 왼쪽 등대의 빛의 양과 같은, 두 등대가 더 생겨

즉, 위 그림에서 큰 원에 4개의 등대에서 원점에 쏘는 빛의 양은,

작은 원에 2개의 등대에서 원점에 쏘는 빛의 양, (파이 제곱)/4  라는 것을 알 수 있어

 

이런 식으로 원점에서 받는 빛의 양은, 원이 커지고 등대가 늘어나더라도

(파이 제곱)/4  값을 유지한다는 걸 알 수 있네

한번만 더 보자

 

14.jpg

 

둘레를 2배로 키우고, 작은 원에서 한 점과 역 피타고라스 정리가 성립하는 두 개의 점을 잡는다

작은 원의 한 점에서 쏘는 빛의 양은 큰 원의 두 점에서 쏘는 빛의 양과 같다

 

15.jpg

 

즉, 둘레가 2배 늘고 등대의 개수가 2배 늘어도 빛의 양은 변하지 않는다

(원점 옆에 노란 값이 원점이 받는 빛의 양을 표시하는데 항상 같은 값)

 

17.jpg

 

여기서 등대 사이의 곡선 길이, 

즉 직선 길이가 아닌 원을 따라 생기는 길이인 호의 길이를 구할 거야

 

등대가 4개인 경우를 생각하면 위 그림과 같이 원을 4분할 하는데

처음 시작한 원(등대가 하나일 때) 둘레가 2이므로, 

등대가 4개일 때에는 둘레가 8이야

 

19.jpg

 

그러면 원점에서 가장 가까운 등대까지의 호의 길이는 1이고,

등대와 등대 사이의 길이는 2가 되겠네.

 

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이것 역시 변하지 않는 값인데,

둘레가 2배 늘어나도 등대 역시 2배 늘어나기 때문이야.

 

즉, 정리하면 원이 얼마나 크든 작든 다음 두 사실은 변하지 않아

 

1. 원점에서 받는 빛의 양은 (파이 제곱)/4

2. 원점에서 가장 가까운 등대까지의 호의 길이는 1, 등대와 등대 사이의 길이는 2

 

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이제 상상력을 동원해, 원을 무한히 키워 보자 (이 부분 때문에 엄밀한 증명이 될 수 없어)

둘레는 무한하고 원은 거의 바닥에 눕는 수직선이 되겠지

 

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둘레를 2배씩 무한히 늘려, 원이 수직선마냥 누웠을 때에도 변하지 않는 사실 두 가지가 있어

 

1. 원점에서 받는 빛의 양은 (파이 제곱)/4

2. 원점에서 가장 가까운 등대까지의 호의 길이는 1, 등대와 등대 사이의 길이는 2

 

2번 사실을 이용해 파란 점을 원점이라 했을 때 각 등대에 좌표를 붙여보자

 

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가장 가까운 등대는 각각 -1, 1이 되고 등대 사이의 거리가 2라고 했으니까 등대마다 홀수 값을 가져.

그러면서 등대에서 원점에 쏘는 빛의 양의 총합은 역시 (파이 제곱)/4 라는 거지.

 

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25.jpg

 

오른쪽에 있는 등대만 따지면,

홀수 제곱의 역수의 합이 (파이 제곱)/8 이라는 식이 나오네.

이렇게 기하학적 해법으로 바젤 문제를 보여줄 수 있어

 

==================================================

 

여기까지 봤으면 영상도 한 번 봐 보자. https://youtu.be/d-o3eB9sfls

영상에서 원주각 설명하는 부분은 생략했는데 어차피 엄밀한 증명도 아니라서 터프하게 넘김 

 

왜 역수 제곱의 합에 파이가 나오는 지,

초등 기하 공식인 역 피타고라스의 정리 만으로 보여준다는 게 신기해서 소개해 봤어

 

 

 

8개의 댓글

오 ㅋㅋ 신기하네 ㅋㅋ ㅊㅊ

0
2018.09.17

삼비일비 센세는 개추야

요즘 벡터보는데 이렇게도 접근하는구나 하고 감탄함

0
@아침밥

3b1b 같은 유툽채널 또 추천해주실 수 있으십니까 형님....

어제 이글 보고 3b1b 채널 알았다가 지금 일 안하고 이것만 보는 중ㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷ

너무 존잼임미다

0
2018.09.17

크 잼다

0
2018.09.18

어렵다 ㅜㅜ

0
2018.09.18

올만에온테프로탁슬추

0
2018.09.19

삼비일비 센세 덕분에 수학 공부 편해짐

 

칸아카데미에서도 활동하시던데 이 세상 수학 교육의 등불이 되어주셨으면...

0
2018.09.19

삼비일비 센세를 국가에서 초빙해서 수학 교과서를 만들어야 됨

0
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