솔직히 저번 화 '극한'과 '미분'은 말그대로 그게 어떤 용어인지만 알기만 하는 걸 목표로 했으니

쉬울 수도 있었을 거야.

어쩌면 이번편도 그다지 안 어려울 수도 있어.

그렇다면 오일러의 공식을 향한 여정 3편

자연상수 e에 대해서야.

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고등학교 2학년 과정에서 배우는 식이야.

자연상수 e를 표현하는 가장 기본적인 식이기도 하지.

lim은 limit의 약자로, 극한을 나타내는 기호야.

lim 아래에 x를 무한대로 보낸다는 기호가 있으니, (1+1/x)^x 의 식에서 x를 무한히 키운다는 뜻이야.

아무튼 이 값을 계산하면, 자연상수 e라는 값이 나오게 돼.

1. 자연상수 e, 시작

자연상수 e는 도대체 어디서 시작한 걸까?

나도 조사해보긴 했는데 정확히 알 수가 없어. 분명 누군가 e의 존재를 가장 먼저 말했을텐데 말이야.

하지만 몇 가지 후보는 있어.

첫 번재 후보는 네이버캐스트에 나와있는 내용이야.

원문링크 http://images.se2.naver.com/smedit/2011/10/22/gu2qfjxpy7t0m9.jpg

10에 계속해서 루트를 계산하던 과정에

숫자 사이의 비율 사이에서 e의 값을 구해낸 거지.

두 번째 후보는 유리함수를 적분하는 과정에서 나온 거야.

(적분은 미분을 거꾸로 하는 거야.)

일반적인 도함수를 구하는 공식에 따르면, 

변수의 지수가 -1, 즉 y=(x분의 1) 함수는 정적분을 할 수가 없어.

수학자들은 오랜 연구 끝에 y=(x분의 1) 함수의 정적분를 구하는 방법을 구해냈어.

바로 log 함수를 이용하는 건데, 이 때 log 함수의 밑이 e가 나와.

내가 e라는 수를 처음 접했을 때 느꼈던 감정이 있어.

"오, 이런 수도 있구나. 신기하다. 근데 이 e가 무슨 특징이 있길래 e라는 숫자가 이렇게 자주 나오는 걸까?"

(자랑 하나 하자면, 이걸 알았을 때가 초등학교 5학년이었지. 문제는 그 뒤로 발전이 없었어. 

고등학교 이상의 자료를 구하기 위해서는 내 정보력만으론 부족했지... 결국 난 수2, 적분과 통계에서 그친 평범한 고등학생이 됬어.

내가 지금까지 쓴 내용을 포함해서 내가 아는 내용은 90%가 독학이야... 틀에 박힌 수학이 아닌 자유로운 수학을 추구하는 이유도 여기에 있지.

순수하게 호기심 때문에 수학을 공부했고, 서점에 가도 수학책만 찾아보곤 했었어. 하지만 고등학교에선 이 모든 게 필요가 없지.

그런데 학교 시험에서 1~2개 틀리면 사회에서 아무런 인정도 못 받는다는 걸 알게 되고, 그 뒤로 우리나라 교육제도를 혐오하는 사람이 됬어.

'박사가 사랑한 수식'이라는 영화를 본 뒤 오일러의 공식을 증명하는 데 3~4년이 걸린 것 같아. 그나마도 '테일러 급수'를 우연히 알게 된 뒤였지.

나같은 고등학생이 전국에 몇 명이나 될까? 라는 생각과 함께, 현재 내 꿈은 수학교수야.)

2. 초월수 e, n(파이)

(n은 파이야 파이. 헷갈리지 마 형들)

제목을 '초월수'라고 해놨어.

초월수가 뭘까? 

무엇을 초월한 수길래 초월수라고 부르는 걸까?

난 '방정식'을 초월했다고 말하고 싶어.

먼저, 초월수는 무리수의 일부분이야.

내가 1편에 썼던 사진이야.

맨 아래쪽에 '초월수'라고 보이지?

그리고 그 위는 '대수적 무리수'라고 적혀있어.

도대체 대수적 무리수는 뭐고 초월수는 뭐야!?

x제곱 - 2 = 0 의 근이 뭐지?

중학생 이상이면 다들 알 거야.

x는 '루트2'가 되지.

자, 이렇게 어떤 방정식의 근으로 표현되는 걸 '대수적 무리수'라고 해.

(방정식의 계수가 정수라는 조건이 있어)

그럼 초월수는?

당연히 방정식의 근으로 표현될 수 없는 수겠지.

e와 n은 둘 다 초월수에 속해.

그냥 무리수도 수학자가 아닌 형들이 보기엔 난해한 수로 보일거야.

근데, e와 n은 초월수의 범주에 속해서 무리수보다 더 난해한, 아주 짜증나는 수야.

심지어 허수 i는 정말 뭐 말로도 형용할 수 없는 수지. 철저하게 수학적으로 생긴 수잖아.

e와 n이 초월수라는 것과 허수 i가 난해하다는 것을 이렇게 강조하는 이유는 

이 세 놈이 합쳐져서 1과 0을 만들어낸다는 신비함 때문이지.

내가 오일러 공식이 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 말하는 이유이기도 하고.

3. e^x의 미분

e^x가 무슨 기호인지 모르는 사람 있으려나?

혹시 모르는 사람을 위해 쓰자면,

e의 x승이야.

x^2가 x제곱인 것처럼..

e가 정말 아무것도 아닌 것 같고, 별 특징도 없는 것 같은 수인데

중요하게 쓰이는 결정적인 이유가 있어.

바로 이 성질 때문이야.

e^x는 미분하면 본인이 그대로 나와.

.. 이건 미분을 배워본 사람들만 아는, 아주 기묘하고 신기한 성질이지.

이 성질은 정말 어디서든 쓰일거야. 난 미분방정식에 이 공식이 사용된 게 가장 신기했어.

증명을 간단하게 써볼게.(정확히 말하면 사진첨부)

 (굳이 필요한 건 아니야)

여기서 a 자리에 자연상수 e를 집어넣으면, ln a 들이 모조리 사라지면서

 이 공식이 나오게 되지.

아무튼 이 공식은 다음편, 매클로린 급수 편에서 상당히 중요하게 쓰일거야.

4. e의 수학적 특징

n(파이)이 그렇듯이, 자연상수 e도 유리수로 표현할 수 있는 다양한 방법이 있어.

하지만 e의 역사가 n만큼 오래된 건 아니어서, 구글링을 해도 나오는 건 많지 않네.

첫 번째

이 놈은 다음 편에서 나올 매클로린 전개를 통해 증명할 수 있어.

(그리고 ! 는 팩토리알이라고 불리는 기호인데,

1부터 그 수까지 모조리 곱한다는 뜻이야.

예를 들어서, 4!는 1부터 4가지 모조리 곱하는, 24가 되지.)

두 번째

이건 정말... 가장 신기한 등식..

세 번째

e를 연분수로 풀어쓰면 이런 식도 나와.

위에 있는 연분수식과 어느 정도 비슷한 점이 있는 것 같아.

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이상 e에 대한 간단한 지식이었어.

n(파이)에 비하면 좀 자료의 양이 부족하긴 한데,

오일러의 공식을 증명하는 데에는 충분할 거라고 생각해.