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수학 잘하는새끼있냐????

79b829d2 2024.06.16 59

나 갑자기 궁금해진게있는데 복소해석학에서

 

복소미분/적분이 가능할려면 복소공간도 실수공간처럼 

 

완비공간이고 실수처럼 순서체를 이뤄야하고 

 

뭐 다양한 조건이 필요할텐데

 

왜 복소공간에서 미적분이

 

실수공간에서처럼하는것처럼 할수있는거야

10개의 댓글

0c538634
2024.06.16

몰라

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79b829d2
2024.06.16
@0c538634

그래.... 뭔가 구렁이 담넘어가듯이 킹받게

실수체계에서했던것처럼 당당하게 미적분하길래 뭐지싶었음

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79b829d2
2024.06.16
@0c538634

실수체계처럼 빈틈이없어야하고(완비공간)

무한으로 뻗어나가지않는 국소콤팩트공간일때

복소공간과 실수공간은 동형사상이여야하는데

(동형사상이란 서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상을 뜻함)

뭔가 설명이안되서 답답해서 싸질러본 글임

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3ea4a8da
2024.06.16

와존나어랴운거아님??

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42334205
2024.06.16

복소해석학에서 복소미분 및 적분이 가능하게 하는 몇 가지 중요한 수학적 조건과 성질이 있습니다. 여기에는 복소공간의 특성과 관련된 다양한 요소가 포함됩니다. 이 요소들은 복소 함수가 실수 함수와 유사하게 미적분학을 적용할 수 있게 해줍니다.

 

1. **복소수의 완비성**: 복소수 공간은 실수 공간처럼 완비 공간입니다. 즉, 복소수의 모든 코시 수열은 복소수 내에서 수렴합니다. 이 완비성은 연속성과 수렴성을 다루는 데 중요한 역할을 합니다.

 

2. **복소수의 기하학적 성질**: 복소수 \(z = x + iy\)는 실수부 \(x\)와 허수부 \(y\)를 가지며, 이는 2차원 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^2\)와 유사한 기하학적 구조를 제공합니다. 이 구조 덕분에 복소 평면에서의 미적분학이 가능해집니다.

 

3. **복소 미분의 정의 (홀로모픽 함수)**: 복소 함수 \(f(z)\)가 복소평면에서 미분 가능하려면 (즉, 홀로모픽하려면) 코시-리만 방정식을 만족해야 합니다:

\[

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

\]

여기서 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\)입니다. 이 방정식은 복소 함수가 실질적으로 실수 부분과 허수 부분이 조화함수 (harmonic functions)임을 의미합니다. 따라서 복소 함수는 실수 함수와 달리 방향에 관계없이 동일하게 미분 가능합니다.

 

4. **코시-구어사우 정리**: 복소해석학에서 중요한 정리 중 하나는 코시-구어사우 정리입니다. 이는 복소평면에서 닫힌 곡선에 대한 적분이 0임을 보장합니다:

\[

\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0

\]

이 정리는 복소 함수가 해석적이고, 복소 함수의 적분이 독립적이라는 것을 의미합니다.

 

5. **코시 적분 공식**: 코시 적분 공식은 복소 함수 \(f\)의 값을 닫힌 곡선 내부의 점에서 적분을 통해 표현할 수 있음을 보여줍니다:

\[

f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} \, dz

\]

이 공식은 복소 함수의 중요한 특성 중 하나로, 복소 미분 및 적분이 실수 공간에서처럼 작동할 수 있는 기초를 제공합니다.

 

6. **복소 함수의 유리성**: 복소 해석 함수는 실수 함수보다 더 엄격한 성질을 가집니다. 예를 들어, 모든 해석 함수는 무한히 미분 가능하며, 테일러 급수로 표현될 수 있습니다. 이는 실수 함수에서 항상 성립하지 않는 성질입니다.

 

이러한 이유들 때문에 복소공간에서의 미적분이 실수공간에서처럼 가능한 것입니다. 복소 함수는 실수 함수보다 더 엄격하고 강력한 성질을 가지며, 이는 복소해석학이 실해석학과 유사하게 작동할 수 있게 해줍니다.

0
42334205
2024.06.16
@42334205

래 맞는 정보는 모르겠엉

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79b829d2
2024.06.16
@42334205

3번까지는 아 그렇구만 이라고하겠는데

그 다음부턴 개사족이네 ㅋㅋㅋ

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42334205
2024.06.16
@79b829d2

걸러들어야해 좀 어려운거 GPT한테 물어보면 고장나

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79b829d2
2024.06.16
@42334205

암튼 gpt도 좀 성능이 별로긴하네

갈길이 먼듯

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42334205
2024.06.16
@79b829d2

ㅇㅇㅇ 더 학습하고 발전 해야징 저런건 너무 어려워서 자료가 중구난방인가봐

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