과학

스압,마지막)1+1은 왜 2인가?

1)헬게이트 오픈, 그리고 연속체가설

 

 

괴델의 불완전성 정리는 수학계에

헬게이트를 열어버린다.

형식주의자였던 폰 노이만은 이런 말 까지 한다

 

'아, 이제 우린 다 끝났군요'

 

그런데

'수학에는 증명불가능한 명제가 하나 이상 존재한다'

라는 기묘한 결론을 뒷받침 할만한 증거는 있긴할까?

 

괴델은 '연속체가설'이 그에 해당하는 명제라고 주장한다.

 

연속체가설은 한마디로 요약하자면

 

'자연수보다 많고 실수보다 적은 개수의 집합이 존재하는가?'

 

이다.

없다라고 추측이 되었지만 풀릴듯 말듯한 이 문제는 나온 시점에서 40년 가까이

증명이 되지 않고 있었다.

 

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당장 이 가설의 제시자인 칸토어마저 이 문제를 풀다가 정신병이 와버려서

정신병원에서 죽어버렸다( 칸토어 지못미 ㅠㅠ)

 

그런데 괴델은 이 문제가 '증명 불가능한 문제'라고 가설을 제시하고

'참으로 가정해도 문제가 없다'를 증명한다.

그리고  1963년, 폴 코엔은

이 문제가 '부정으로 가정해도 문제가 없음'임을 증명하면서

증명이 불가능함을 증명한다.

즉  연속체가설은 참이여도 거짓인지 정할 수 없으며

둘 중 어느것이라도 상관없다는 뜻이다!

 

이런 기묘한 결론을 어떻게 해석해야 하는가?

에 대해서 수학자들은 고민하기 시작한다.

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1935년, 막스 뉴만은 이 불완전성 정리에 대해 새로운 해석을 내놓는다.

바로 무한과 결부시킨 해석이다.

 

괴델의 불완전성 정리는 다음과 같은 명제를 인정하면서 시작한다

 

A는 증명 불가능하다 = A

 

이 명제는 근본적으로 자기 자신을 자기자신으로 기술하는 명제이다.

그러나 일반적인 상황에서는 자기 자신을 자기자신으로 기술하는 명제는 있을 수 없다.

가령 다음과 같은 명제를 보자

 

X=X+1

 

 

이 명제는 자기 자신을 자기자신으로 기술하는 명제이다.

그러나 이건 초등학생도 대답할 수 있는 문제이다.

이런 건 세상에 존재하지 않는다!....... 라고 생각할 수 있지만 딱 하나 예외가 존재한다

 

 

 

 

 

 

2)저 머나먼 무한의 세계로, 나는 가자

 

 

 

 

 

 

x=무한 이라고 생각해보자

 

무한=무한+1 

 

이라고 하면 위식은 성립한다.

무한에 1을 더해봤자 똑같은 무한이기 때문이다.

그런고로 뉴만은 이런 해석을 내놓는다

 

'괴델은 유한한 방법으로 찾을 수 없는 문제가 있다는걸 찾은것이다!'

 

말장난 같은 명제는 사실 무한을 유한적인 방법으로 기술한 것이다.

유한한 관념만 담을 수 있는 인간에겐 머리가 꽤나 아픈 일이겠지만

우리의 괴델은 이를 훌륭하게 수학적 언어로 증명했다.

 

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그리고 이 강의를 듣던 한 청년이 있었다.

그의 이름은 '앨런 튜링'

남들은 철구 방송 보면서 앙기모띠 하는 초등학생때 미적분을 척척 풀었다는

금머가리 튜링씨는

우연히 이 강의를 듣고  이 문제에 대한 다른 접근을 시도해보게 된다.

 

'사람은 유한한 방법으로 풀 수 없다 치자, 기계는 어떨까?'

 

사실 우리가 도저히 유한한 시간안에 할 수 없는 일을

기계는 수십초안에 뚝딱 해내곤 한다.

예를 들어 

 

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1800년대 샹크스 (여러분이 나는 그 샹크스 맞다. 스펠링도 똑같음) 란 수학자는

평생을 바쳐 원주율을 707자리 까지 손으로 계산했지만

1900년대 한 수학교사가 탁상용계산기로 그것을 검산해보았고,

528번째 자리부터 모조리 틀렸다는게 밝혀졌다........(ㅠㅠ)

오늘날 평범한 컴퓨터, 우리가 롤이나 옵치 돌리는 컴퓨터로

원주율을 계산하는 속도는, 100만자리를 계산하는데 1초정도이다.

 

어쨌든 우리 튜링씨는 수학적 문제를 풀 수있는 기계를 고안해 내고

이를 '계산가능한 수에 대해서, 수리명제 자동생성 문제에 응용하면서' 라는 논문에서

발표한다.

그 기계가 뭐냐고?

너가 지금 보고 있는거

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그래, 바로 '컴퓨터'이다. ( 난 폰으로 보는데? 할 수도 있지만 스맛폰도 엄밀히 따지면 컴퓨터다)

그는 컴퓨터의 원시적 형태인 '튜링머신'을 제시한다.

튜링머신을 구성하는 아이디어 역시 괴델의 증명에서 따왔다.

괴델은 '괴델수'라는 개념을 도입해서 모든 명제를 숫자로 환원시켰다.

가령 1+1=2 는 45234235, 이런식으로 말이다.

컴퓨터는 모든 문제를 0과1로 수식화시켜 계산한다.

이 아이디어 역시 괴델의 아이디어에서 따온것이다.

어찌됐든 튜링은 논문에서 이 기계를 사용하여 

컴퓨터가 '무한한 시간이 걸리는 문제'를 어떻게 다룰 지를 연구하였고,

꽤나 김빠지는 대답을 도출한다.

 

'컴퓨터는 어떤 수학적문제를 푸는데 무한한 시간이 걸리는지 아닌지 일반적으로 파악 조차 할 수 없다!'

 

더 쉽게 요약하자면

'컴퓨터가 어떤 수학적 문제를 풀 수있는지 없는지 조차  일반적으로 알아낼 수 없다'

이다.

여기서 '일반적'이라는 표현에 주목해야한다.

하나의 프로그램으로 '모든 문제'를 해결하는 상황을 상정한것이다.

개개의 경우에는 풀 수 있는지 없는지 알아낼 수 있다.

가령 위에서 말한 '연속체 가설'의 경우 우리는 풀 수 없음을  증명했다.

 

일반적인 상황, 즉

이 세상 모든 수학적 문제를 집어넣으면 문제가 풀릴 수 있을지 없을지 

모두 뱉어낼수 있는  '하나의 프로그램' 을 만들 수 있는가? 에 대해

'불가능하다'라고 답을 내린것이다. 이로서 기계의 힘을 빌려서도

수학은 불완전 하다는 것이 더더욱 확고해지게 됐다.

 

또한 튜링은 여기에서 한발자국 나아가 또다른 문제를 제기한다.

 

'그럼, 풀 수있고 없고를 떠나 모든 수학적 문제를 컴퓨터로 실행이 가능한가?'

 

그리고 그는 이 문제를 풀어내기 위해 

'인간의 뇌를 본뜬 완벽한 컴퓨터를 만들면 되지 않을까?'

라는 생각을 했고, 이에 따라 요즘 핫한 ai ,

즉 인공지능이란 개념을 구상하게 된다.

인공지능이 엄청나게 발달해 가고 있는 지금, 위 문제는 해결되었는가?

아직까진 해결되진 않았다. 

 

튜링은 사실 괴델의 정리를 파헤치는 과정에서 이런 기계를 고안해 낸것이지

실용적인 목적을 위해 고안한 것은 아니다.

하지만 누가 알았으랴! , 그것이 지금 인류의 문명을 비교도 안되게 풍요롭게 해줬고,

이제 우린 컴퓨터 없인 살 수 없는 사람이 되었으며, 현대 문명의 8할은 컴퓨터에게 빚졌다고 해도

과언이 아니다. 또한 여기서 파생된 인공지능이란 개념은 지금

4차산업혁명이니 뭐니 하면서 벌써 시대를 선도하고 있지 않나

 

여기까지 읽으면서 '아니 ㅅㅂ 이새끼들은 할 짓도 없나, 왜 이딴걸 고민하지?'

라고 반문 했을수도 있을것이다.  그러나 이런 쓸데없어 보이는 논쟁에서 인간의 삶을 편리하게

해주는 실용적 기술이 무한하게 파급되어 나타난다.

'왜 기초과학에 투자해야 하느냐?' 라고 묻는다면 이걸로 대답을 대체하겠다.

 

 

3)아 그럼 누가 맞냐고요

 

 

그럼 누가 맞냐고?

사실 이렇게 기술했으니 '플라톤주의자'가 맞았다! 라고 답할 수 있겠지만

다음과 같은 의문이 생긴다.

'수학이 불완전하다면 그것이 신의 지식이라고 봐야 하는가?'

일반적으로 신은 완전하다.

그런데 수학은 수학의 내재적 특성상, 무조건 불완전하다.

그렇다면 수학을 신의 지식이라고 봐야하는가?

대답하기가 쉽지 않다.

또한 우리는 수학을 정립하는 과정에서 수많은 역설을 발견했고

이를 잠정적으로 없애기 위해 공리를 설정해서 강제적으로 없앴다.

이런 본질이 과연 '완벽한 수학'과 합치하는가?

이 역시 대답하기가 쉽지 않다.

 

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(말년의 괴델, 아인슈타인과 괴델은 절친이였다고 한다.)

 

괴델의 연구는 아이러니 하게도 플라톤주의자였던 괴델 자신에게도

타격을 주었다. 이의 영향이였는지, 괴델 역시 정신병에 걸려 죽게 된다.

 

형식주의자들도 타격을 입었기는 마찬가지이다.

완벽한 형식체계를 만들어 신의 영역인 수학을 인간의 것으로 만들겠다는

꿈이 박살나 버렸다. 숨죽이고 있던 플라톤주의자들이 다시 등판해

형식주의자들을 공격하기 시작했다.

에르되시 팔(띄어쓰기 주의) 같은 수학자들이 있었다.

그러나 완전히 주저 앉은것은 아니다.

공격은 공격이고, 힐베르트 프로그램은 계속 진행되어야 한다.

그들은 곧 산술의 무모순성을

산술로 부터 증명할 수 없다는걸 인정했고, 재빨리 태세전환을 해 산술의 외부에서

이를 증명하려 시도한다.

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겐첸이란 수학자는 '초한귀납법'이라는 새로운 방법을 써서

산술의 무모순성을 증명하는데 성공한다.

그러나 이 방법은 산술을 벗어나는 형태이고 무한을 사용하기 때문에

형식주의자들의 원래 목표에서 한참 벗어난 방법이긴 하다.

어쨌든 이렇게 형식주의자들이 만들어낸 수학적 틀은 지금의 현대수학 그 자체가 되었다.

그래도 가장 깔끔하게 수학을 설명 할 수있는 틀인건 변함없는 사실이기 때문이다.

당신이 수학과에 진학해 수학을 배운다면 , 당신이 배우는 수학은 다 이 형식주의자들이

만들어낸 수학일것이다.

 

 

 

4)마치며......

 

수학적 지식의 본질은 무엇인가?

원래부터 정해져있나?

아니면 우리가 임의적으로 만든것인가?

에 대한 대답은 '아직도 모른다' 이다.

지금도 플라톤주의자와 형식주의자의 논쟁은 계속되고 있다.

하지만 이런 쓰잘떼기 없어 보이는 논쟁에서

컴퓨터가 나오고 ai가 나왔으면 본전은 건진것 아닐까?

 

마무리가 생각보다 김빠지는것 같지만, 그래도 이렇게 마무리 하겠다

 

1+1은 왜 2인가? 에 대한 대답은 '아직도 모른다' 이지만,

이걸 논쟁하는 과정에서 인간의 삶은 전과 비교도 안되게 윤택해졌다!

 

 

 

 

 

아쉬워서 쓰는 별 거 없는 tmi

 

1) 천재들은 보통 사회성이 떨어지곤 한다.  괴델의 업적과 행보를 보면

만나면 수학 얘기만 주구장창 하는 그런 사람일것 같다. 그러나 괴델은 예외였다.

동창들이 회고하길 '연애를 아주 잘했던 학생'이였다고 한다.(그런데 우리는 왜....)

 

2) 그런데 말년에는 정신병에 걸려 사회성이 매우 떨어졌다.

나치를 피해 미국으로 망명했을때 , 망명심사에서 판사를 앞에 두고

'미국헌법은 왜 나치처럼 독재로 귀결될 수 있는 헌법인지 논리적으로 설명하겠다!'

라며 장광설을 늘어놓다가 동석했던 아인슈타인에게 제지 당했다곤 한다.

 

 

3) 그의 사인은 '아사'이다. 누군가 자기를 독살할 것이라는 망상에 빠져 음식을 먹지 않았고

결국 사망한다. 사망당시 몸무게는 38kg 였다고 한다.

 

4)앨런튜링은 게이였다. 그런데 당시 영국에서 동성애는 불법이였고, 튜링은 붙잡혀 화학적 거세를 선고 당한다.

이에 분노한 튜링은 사과에 청산가리를 주입하고 한 입 깨물어서 자살한다.  그리고 2013년에 수만건의 청원을 못이긴

영국 정부는 튜링을 공식 사면한다.

 

5) 폰노이만은 말도 안되는 천재였다. 7살때 8자리 암산을 했고, 9살때 미적분을 마스터했으며,

평소에  십만자리의 숫자도 암산을 해냈고, 영어공부를 하겠다고 브리태니커 백과사전을 통째로 암기하기도 했다.

(참고로 브리태니커 백과사전은 12만개의 항목이 있다)

인성도 터진 그는 자신의 지적능력을 뽐내는걸  즐겼다고 하는데

어떤 사람이 수학문제를 고민하고 있으면 그 사람 앞에 가서 암산으로 풀고

답만 툭던지는 식으로  능욕을 했다.

원자폭탄,수소폭탄 개발에도 지대한 공헌을 했는데

그때도 컴퓨터를 안쓰고 암산해서 개발에 참여하는걸로 유명했다.

그 이유가 '컴퓨터는 자기보다 느려서.....'

죽기 직전까지도 그 버릇을 못버려 괴테 파우스트의 모든 페이지 첫문장을 암송하는 퍼포먼스를 보였주고

죽었다고 한다.

 

 

진짜 끝

17개의 댓글

2019.02.11

내가 문과라 딴건 이해 못하겠는데

아이고.... 좋은 머리들이 정신병으로 끝났다는게 아쉽다

0
@번째새벽

겐첸도 나치에 부역했다는 죄목으로

체포되서 수용소에서 죽었음.

근데 이건 안타까운건지 아닌지 잘 모르겠네...

좋은 머리긴 했는데....

0

요약

아모른직다

0
2019.02.11

정말 뜬금없지만 이글 읽고 느낀점은

머리가 안좋으면 외우라는 말이 떠오르네

1+1이 뭐냐는 질문에 천재들이 달라붙어서 내린 결론이 모름ㅋㅋ ㅈㅅ 이라니

주입식 교육이 욕을 먹더라도 가장 효과적인 방법인거 같다

 

글 잘읽엇다 ㅊㅊ

0
2019.02.11

재밌었다 앞으로도 많은 글 부탁해!

0
2019.02.12

공대생이 글을 참 잘쓰네

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2019.02.12

연속체 가설은 ZFC를 통해서 증명 혹은 반증 불가능하다고 표현하는게 맞겠지. 공리를 추가하면 증명 혹은 반증할수 있음

 

0

말장난하지마라 심각하니까

0

이래서 컴퓨터와 인공지능이 만들어지고...

0
2019.02.12

참이라 해서 모순 안 나오면 거짓임을 증명할 수 없는 이유가 머임요?

0
2019.02.12
@그게

참이라 가정해도 모순이 없어서 거짓임을 증명할수 없는게 아니라 현대 수학에서 쓰이는 공리계로는 참이라고 해도 상관이 없고 거짓이라고 해도 상관이 없어.

0
2019.02.13
0
2019.02.14

튜링머신하니까 이미테이션게임이 생각나는군

 

0
2019.02.14

글쓴이 수학과임? 마침 나중에 군론 공부하려고 집합론부터 따로 공부중인 물리학과 학부생인데 질문있음

 

수학자들은 평소에 집합(set)하고 모임(class)를 구분안함? 둘이 다르다는데 내 전공 교재에서는 class 라고만 하고 오픈소스 대학강의에서는 모임이라 안하고 집합이라 하더라고. 강의 자료에서도 집합이라고만 하고.

일반적인 경우에는 모임하고 집합을 구분할 필요가 없음? 고유 모임(proper class)가 그리 많지 않은건가?

0
2019.02.15
@blyyyyat

클래스는 집합이 뭐냐! 하고 정의하기 전에 임시로 쓰다가 버리는 거 아님? 아니라면 ㅈㅅ합니다

0
2019.02.14

근데 1,2,3,...은 수학적이거나 논리적이라고 말할 수 있지만

무한은 그냥 수학적 정의 아니냐?

 

무한 = 무한 + 1 또한 그 정의 때문에 성립하는거지 정의를 다르게 하면 성립 하지 않을 수도 있는거 아님?

수학적 정의는 도구에 지나지 않고 정의를 뭘로하느냐는 그냥 약속인데

약속이 증명되지 않는건 너무 당연한거 아닌가

 

만약 무한을 "무한히 발산하는 수 중에 가장 큰 것". 이라고 정의한다면

무한 = 무한 + 1 이 성립할 수 없음.

 

이건 수학적 정의(도구)를 어떻게 썼냐에 의해 결정되는 인간 의존적인 명제임.

0
2019.02.15
@혜워녜나

너말대로 정의를 다르게 하면 답이 달라지는데 무한에 대한 정의가 이미 공리에 있어 

정의를 바꾼다는건 공리를 바꾼다는 소리고 중요한건 어떠한 공리체계라도 모든 명제를 증명할수 없다는거거든

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