과학

스압,3탄) 1+1은 왜 2인가?

 

이미 말했다 시피 '러셀의 역설'로 기존의 논리주의자들은 다소 궁색한 입장에 처한다.

가장 간결한 논리학의 언어로만 수학 체계를 구성하는 것에 실패했기 때문이다.

그리고 더욱 더 논리주의자들을 골치 아프게 한 문제가 있었으니 바로

'무한'이다.

 

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우리 칸토어씨는 최초로 금기의 영역에 있던 '무한'을 건드렸다.

그 당시까지만 해도 무한은 신만이 알고 있는 '저너머 세계'

앞에서 골백번은 말했던 '플라톤적 이데아'의 영역이라 생각되었고

이를 연구해서 파헤친 칸토어씨는 당연히 엄청난 비판에 시달리게 된다.

집합론의 기초와 무한을 엄밀히 규명한 업적을 세웠지만

이런 공격과 연구에 대한 스트레스가 겹쳐 정신병에 걸려 정신병원에서 쓸쓸히 죽는다....(ㅠㅠ)

 

아무튼 이건 잡소리고, 그는 무한에 대해서 아주 신박한 개념을 발표하는데

 

'무한에도 대소가 있다!'

 

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언뜻보면 그럴듯 하기도 하고 아닌것 같지만

그는 '대각선논법'이라는 기똥찬 방법을 개발하여

짝수와 자연수의 개수는 같고, 자연수와 유리수의 개수는 같으며

하지만 유리수와 무리수의 개수는 다르다는 듣기만 해도 정신이 아득한

연구결과를 마구 내놓는다.  (이에 대해선 내가 쓴 글 참조, https://www.dogdrip.net/157359805)

 

이렇게 되니 아무리 무한을 기피하던 수학자들도 결국 강제적으로 무한에

손을 댈 수 밖에 없었고, 참으로 난처한 일이 생긴다.

무한을 어떻게 논리적인 언어로 기술할 것인가?

 

참으로 골치 아픈 문제였고, 그에게서 집합이란 수학적 도구를 물려받은

논리주의자들은 깊은 고뇌에 빠진다.

 

게다가 칸토어의 연구결과에 따르면 심각한 모순이 생긴다.

그는 '어떤 집합의 멱집합은 그 집합보다 수가 많은 집합'이라는 연구도 발표한다

'멱집합'은 어떤 집합의 부분집합을 전부 다 모아놓은 집합이다

 

가령 {1,2,3} 이라는 집합이 있다면

 

{{1},{2},{3},{1,2},{1.3},{2,3},{1,2,3},∅} 이렇게 다 모아놓은 집합이 멱집합인것이다

여기까진 당연한 소리니까 그렇다 치자

 

'무한집합의 멱집합은?'

 

이란 질문에 칸토어는

 

'무한집합도 해당된다!' 

 

라는 답을 한다.

무한집합의 멱집합은 무한집합보다 큰 무한집합이라는 말장난 같은 상황이 벌어지는데... 이 때 또 다시 역설이 등장한다

 

'모든 집합의 집합은 존재하는가?'

 

라는 질문에 대답해보자.

모든집합의 집합을 A라고 해보자

A의 멱집합을 B라고 할 때, 칸토어의 연구에 따르면

B는 A보다 큰 집합이다.

 

의문을_표하는_개구리 (1).jpeg

 

???????????

모든집합의 집합보다 큰 집합이 존재한다면 그 집합은 무엇인가?

그럼 B의 멱집합을 C라고 하자.

그럼 모든집합의 집합보다 큰 집합보다 더 큰 집합이 존재한다!

병신같은 말장난 같다.

 

이렇게 좌충우돌 겪으로 꼬여가는 논리에 새로운 학파가 등장하게 된다

 

 

형식주의자들의 등장

 

 

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이분은 비트겐슈타인이다.

생활과윤리 선택했다면 한번쯤 책에서 봤을것이다.

프레게가 언어철학에서 나대고 수리철학에서도 나댔듯이

우리 비트겐슈타인씨도 철학에서도 나댔고 수학에서도 나댔다.

그는 '논리실증주의'를 주창한다.

복잡하지만 요약하자면 우리는 '의미있는 명제' 만을 다뤄야 한다고 주장하는 철학이다.

 

가령 '이x주는 아름다운가?'라는 명제를 보자.

이것은 의미가 있는 명제인가? 비트겐슈타인은 아니라고 대답한다.

답이야 할 수있지만 아무런 의미는 없다. 왜? 

이 명제가 참인가 거짓인가? 사람마다 다 다르게 볼 문제이다. 이런 명제는

무의미(nonsense)하다.

그에비해 수학,과학은 다르다. 

'물은 수소와 산소로 이루어져있는가?' , '무리수는 순환하는 무한소수인가?'

'삼각형의 변은 네개인가?'

같은 명제는 참이든 거짓이든 둘 중 딱 하나로 귀결된다. 

참 거짓을 떠나 명확한 대답이 가능하다.

사람의 취향차이고 나발이고 없다.

이런것은 '의미있는 명제'다. 그는 철학은 이런 의미있는 명제만을 다뤄야 한다고 생각한다..

철학의 전통적 관심사인 윤리를 철학의 영역에서 제거하는 독창적인 움직임이였다.

 

어쨌든 그는 수학에 대해서도 입장을 밝혔는데 그는 수학은 그저

항진명제의 나열에 불과하다고 주장했다.

항진명제가 뭐냐면  '총각은 미혼이다', '파란색은 blue다' 같이  표현만 다른 두 명제를

같다고 놓은 명제이다.  이런 명제는 아무런 의미가 없다.

수학은 이런 명제들만 주구장창 모아놓은 것이다. 1+1=2 라는 명제는 1+1과 2가 같다라고 설정한 명제일 뿐

그 자체에는 아무런 의미가 없다. 

이러한 주장은 플라톤주의자와 논리주의자들의 생각을 전면으로 반박한다.

수학의 본질이 그저 기호들의 놀음에 불과하다는 말이기 때문이다.

 

이 철학은 수학에서 형식주의의 형성에 지대한 영향을 준다.

비트겐슈타인의 사상을 따르던 '빈 서클'의 수학자와 힐베르트라는 수학자가

이러한 흐름을 주도한다.

 

 

형식주의자들에 의해 완성되가는 수학

 

자 그럼 형식주의란 무엇인가?

수학을 좀 더 간결하게 정의한 것이다

 

'수학은 기호의 놀음이다'

 

이는 논리주의자보다도 더 반플라톤주의적인 입장이다.

수학은 결국 기호의 의미없는 나열과 이 관계를 규명한것에 불과하다는 입장이다.

이 입장에 따르면 1+1은 2 라는 결론에 대해서 더더욱 시시한 결론에 이른다

1+1=2

이 식은 1,+,=,2 네가지 기호의 의미없는 나열에 불과하다.

다만 1+1 =2 인 이유는 그저 우리가 이렇게 정해서 그런것일뿐,

수학은 마치 체스게임과 같다.

체스가 체스말의 움직임과 규칙을 미리 정해 놓고

그 안에서 움직여 승패를 겨루듯, 수학도 우리가 인위적으로 정해놓은 세계관 안에서

명제를 증명하는 일종의 게임이다.

 

 

이런 견해가 논리주의와 하등 다를바 무엇이냐 물을 수 있겠지만

좀 더 세부적으로 들어가면 논리주의보다 더 명확한 설명이 가능해진다.

 

예를 들어 전편의 러셀의 역설을 보자.

이를 해결하면 방법은? 간단하다.

'그런 집합은 안만들면 된다' (물론 이것보다 더 복잡한 언어로 설명한다)

그런 억지가 어딨냐고?

방금 형식주의자들은 수학은 기호의 놀음이라고 보았다.

당신은 가나다 뒤에 라가 온다고 논리적으로 항변할 것인가?

 

그럼 칸토어씨가 말한 '모든 집합의 집합'은?

그냥 '그런거 안 만든다고 약속'하면 된다.

형식주의자들은 다음과 같은 전략을 세웠다.

구태여 수학을 논리학의 언어로 설명하기 보단 딱히 설명 불가능 한 것은

간단하게 공리로 설정하고

이를 바탕으로 기호끼리의 관계를 서술, 정리하여

사념이 제거된 '형식체계' 를 만든다. 

그리고 그 내부에서 모순이 없고 완전하다는걸 증명한다면?

수학은 단순히 기호들의 놀음이라는것이 입증되는것이다.

 

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수학에 영원한 무지란 없다

-힐베르트-

 

힐베르트는 형식주의자들의 리더였다. 

그는 1900년 국제 수학자회의에서 일명 '힐베르트 프로그램'을 가동한다.

산술, 즉 사칙연산과 자연수 이루어진 수학의 공리를 정하고 그 공리를 바탕으로

모순없이,완전한 공리계를 만드는 작업을 시작하고 수학자들을 끌어모은다

 

이 때 '완전한'이란 무슨 뜻인가?

이말은 '모든 것이 증명 가능한' 이란 뜻이다.

힐베르트 프로그램이 완성되면  무모순의 완전한 수학체계가 구축이 된다.

그럼 어찌 되냐고?

전 글에서 말했다 싶이, 수학은 이제 신의 영역이 아닌 인간의 영역이 된다!

증명불가능한 문제따윈 없게 되고, 더이상 수학은 세상 저편의 무언가가 아니게 된다.

그는 수학은 인간의 영역이 될 수있고, 실제로 그렇다고 확신했다.

 

 

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(실제로 그 의 묘비명은 '우리는 알아야만 한다, 우리는 알게 될 것이다' 이다. 과연 그렇게 될 것인가...?)

 

체르멜로,프랑켈,폰노이만 같은 천재들을 필두로

산술의 공리계가 완성되어갔고, 그는 이내 몇년내로 산술의 공리계의 완전성이

증명 될 것이라고 장미빛 전망을 내비쳤고, 형식주의자들은 희망에 젖어 있었다.

그리고 심지어 물리학도 이런 구조로 형식화 할 수 있을것이라는 예측까지 하였다

이 예측마저 맞다면 세상의 모든 물리법칙들마저 모르는 문제가 없게  된다.

그러면 인간은 문자 그대로 신이 된다.  과연 그렇게 될 수 있을까?

 

 

불완전성 정리의 등장

 

1925_kurt_gödel.png

 

이름도 얼굴도 생소한 '쿠르트 괴델'씨이다.

그러나 이분이 현대에 미친 영향은 지대하다라는 표현으론 부족할 정도다.

빈 대학 물리학과에 입학한 그는 입학때부터 천재성으로 이름을 날렸고

당대 최고의 지성들만 모이는 사교모임인 '빈서클'에 초청된다.

 

그러나 그는 골수 플라톤주의자였다. 1탄에서 소개한것 처럼

수학적 지식은 저 머나먼 세계 어딘가에 정해져있다는 생각을 가지고 있었다.

그러나 빈서클은 형식주의자들이 대다수였고, 그곳에서 쭈구리가 된

그는 그들을 반박하기 위해 조용히 칼을 갈고 있었다.

과묵한 성격이였던 그는 말을 아끼며 연구에 몰두했고 23살이 되던해, 어마어마한 연구결과를 내놓게 된다.

 

 

300px-Albertina.jpg

 

1930년 쾨니히스베르크, 그 해 거기서 열린 학회에서

그는 박사논문(!!)을 발표한다. 

일개 대학원생이 내놓은 발표에 학자들은 듣는둥 마는둥 심드렁 하고 있었는데...

 

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7살때 8자리 암산이 가능했고 

자기가 만든 컴퓨터랑 암산 배틀에서 이긴 전설의 천재 폰노이만 씨는

듣자마자 논문의 진가를 알아봤고 그와 함께 논문을 정리

31년 고등과학원에서 이를 발표하면서 불완전성 정리는 세상에 알려지게 된다.

 

잡설이 길었다. 불완전성 정리가 무엇일까?

 

1. 자연수의 사칙연산이 포함된 공리계는 무모순이면 불완전하다, 즉 무모순이면 증명불가능한 명제가 하나 이상 있다.

2. 산술을 포함하는 공리계가 무모순인것은 공리계 내부에서 증명이 불가능하다.

 

말이 조금 어렵다. 풀어 써보자

1번을 요약하면 다음과 같다

 

'수학은 증명 불가능한 명제가 존재한다'

 

??????????

 

증명이 불가능한 명제가 하나 이상 존재한다는 것이다.

그럼 수학은 완전하지 못하다. 왜냐하면 모든것이 증명 가능하지 않기 때문이다.

혼돈을 뒤로하고 2를 보자. 

2는 요약하면 무모순인것은 그 체계 안에서 증명이 불가능 하다는 것이다.

어떤 수학 체계가 있으면 그 내부로부터 무모순인것이 증명 불가능하다.

그 체계가 무모순인걸 증명하려면 다른 외부의 체계를 하나 더만들어서 그로부터 그걸 증명해야한다.

이것이 맞다면 힐베르트와 형식주의자들의 꿈은 박살이 난다.

수학은 완전하지도 않으며, 무모순성을 내부로 부터 증명 할 수도 없다!

 

이 쌈박한 정리를 괴델은 어떻게 증명했을까?

아주 복잡하다. 하지만 여기서 최대한 간략하게 설명해보겠다.

괴델은 먼저 다음과 같은 명제를 만들었다

 

A: A가 참인 것을 증명 할 수 없다

 

자기자신이 참인것을 증명 할 수 없다 라는 명제이다.

만약 A가 참이라면 아무런 문제가 생기지 않는다.

그러나 A가 거짓이면 A는 참인 것이 증명이 된다는 뜻이다.

근데 A는 거짓이라고 가정했으니 모순이다.

따라서 A는 무조건 참이다. 결국 A는 증명불가능하다. 

그리고 그는 이 명제를 사칙연산과 자연수로 나타낼 수 있음을 

증명했다. (자세한 방법은 추후에 따로 글을 올리겠다. 존나게 복잡하고 어렵다)

따라서 산술에는 A와 같이 증명 할 수 없는 명제가 하나는 반드시 존재하게 된다.

1정리가 증명이 된다.

 

그런데 만약 공리계의 무모순을 내부에서 증명 할 수 있다고 치자,

1정리는 '무모순이면 그 안에 A와 같은 명제가 존재한다'

라고 정했다.

그런데 A는 위에서 말했듯이 무조건 참이다.

따라서 무모순을 내부에서 증명 할 수있으면 A라는 참인 명제가 있다는 것을 알게 된다.

근데 증명이란 무엇인가? 수학에서 증명은 P이면 Q이다의 형식을 띈다.

가령 'n각형의 내각의 합은 180*(n-2)이면, 삼각형의 내각의 합은 180이다'

와 같이.

'A는 증명불가능하다' 라는 명제는 증명이 아니다.

그저 선언적인 명제에 불과하다.

그러나 '어떤 체계에 무모순을 내부에서 증명할 수있다면 그 안에 있는 A는 참이다.'

라는 문장은 p이면 q이다 라는 꼴이다. 따라서' A는 참이다' 라는 것이 증명되는 셈이다.

그런데 A는 증명 불가능한 명제이다. 따라서 모순이다

고로 어떤 체계의 무모순성은 그 체계 안에서 증명이 불가능하다!

 

머리가 아파온다. 

다음편에는 이런 말장난 같은 정리가 수학계와

이를 넘어 인간 생활 전반에 어떤 파급을 가져왔는지 더 자세히 알아보자

 

 

14개의 댓글

2019.02.10

어릴 때 밀레니엄 문제같은거 찾아보면서 재밌어하던게 생각나네.

글 너무 재밌다

2019.02.10

3화는 내용이 중구난방이라 별로다 다음 내용 빨리올려라

이해안됨

난 이런걸 생각해냈다는게

 

너무 신기하고 놀라옴

 

과학자들 철학자들

 

너무 신기함

2019.02.10

논리학이랑 집합론 연구를 막하다가 수식으로 표현한게 불 대수(Boolean algebra). 근데 참을 1, 거짓을 0으로 놓으면 이게 회로랑 같음. 트랜지스터 개발로 스위치가 만들어짐. 불 대수를 존나 많이 써서 회로화 한게 반도체 팁이고, 이게 컴터가 되었다 이렇게 알고 있다.

그니까 님들 컴질할 수 있게 해주신 분들이야.

2019.02.10

잠깐만 그럼 수학이 신의 영역인 거야????????

말도안돼 시발

어떻게 자연수의 갯수 = 짝수의 갯수 인거야?

난 납득할수엄써

2019.02.14
@ㄸㅗㅇㄱㅜㅁㅓㅇ

난 작성자만큼 지식이 깊은건 아니지만 배웠던기억을 더듬어서 조금 씨부리자면

극한의 입장에서 보면 자연수의 갯수 = 짝수의 갯수가 맞다. 결국은 똑같이 둘다 끝까지 셀수 없는 역영이니까.

x가 무한대로 증가할때 lim x = 무한 , lim x/2 = 무한. 이니까 결국 극한 값은 같잖아.

근데 내가 소수이론인가 어떤 수업에서 한가지 배웠던게 그 무한의 크기에 관련된 이야기인데

그건 위에서 설명이 되어있으니..

lim x 의 극한값과 lim x/2 의 극한값이 같다고 정의할 수 있는가? 에 대해 배웠던것같아.

2019.02.11

1+1=왜2인가? 라는 질문으로 인류의 수학사를 훑어버리네 ㅋㅋㅋ 흥미진진하다

2019.02.11

로지코믹스 생각나네여 예전에 쓰신 글도 재밌고 이번 것도 잘 읽었어요

2019.02.11

수학은 조금만 들어가려고 하면 사용하는 언어가 달라져버려서 접근하기가 너무 어렵던데, 이렇게 쉽게 풀어서 재미있게 써주니 너무 고맙네. 다음 내용 너무 기대된다 진짜.

??? : 선생님 왜 1+1은 왜 2에요?

찰흙은 두개 합쳐도 하나가 되잖아요

 

산생님 : 질량이 2가 됐잖아 꼴통년아 너 퇴학ㅅㄱ

2019.02.13
2019.02.18

어우 형님... 갑자기 난이도가 너무 올라갔어요ㅠㅠ

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