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안녕 거이 6개월 넘어서 돌아왓어 ㅋㅋ 지난 편을 기억하고 잇는 사람이 있을지 모르겠네 아무튼 다시 3편에 이어서 글을 써볼게


지난편에서는 복소수의 역수를 역행렬로 표현하는거까지 썼었네. 이번 편에서는 복소수에 대한 얘기는 잠깐 접어두고 일차변환과 벡터에 대해서 얘기해볼까해


주구장창 복소수 얘기만 하다가 갑자기 왜 다른얘기를 꺼내냐 할 수도 있겠지만 내용상 이어지는 부분이니 걱정 말아줘 ㅎㅎ;


그럼 일차변환이 무엇일까? 일차변환은 고등학교때 배웠던 표현이고 다른 용어로는 선형변환(linear transformation)이라고 하는데 위키나 여러 다른 교재에서도 선형변환이라고 하니 앞으로는 선형변환이라는 표현을 쓸게. 아무튼 이것의 정의가 위키에 나와있으니 한 번 살펴보자.


 K 위의 두 벡터 공간 VW 사이의 함수 T\colon V\to W에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 T를 선형 변환이라고 한다.

  • 다음 두 조건을 만족시킨다.
    • 임의의 두 벡터 u,v\in V에 대하여, {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}
    • 임의의 스칼라 a\in K 및 벡터 v\in V에 대하여, {\displaystyle T(av)=aT(v)}

icon_81 (1).png


위키의 내용이 뭔지 좀 더 파고들어가보자. 하지만 추상대수학의 내용은 이 한편에서 설명하기엔 너무 글이 길어지니까 대충대충 넘어갈게 이부분은 봐줘 ㅎㅎ;


일단 (field)라는 놈의 정의 자체는 알고보면 간단해.

우리가 다루는 수학적 도구(예를들어 실수, 복소수같은 것들)를 K라는 집합으로 표시한다면, 이 K가 체라는 말은 사칙연산(더하기, 빼기, 나누기, 곱하기)이 가능하고 산술의 여러 법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙)이 매끄럽게 잘 계산이 되는 집합이라는 뜻이야. 여기서 잘 계산이 된다는건 계산 후에 나온 결과가 집합 K의 범위를 벗어나지 않는다는 걸 말해.

그리고 사칙연산이 가능하다는 얘기는 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원이 존재한다는 얘기이기도한데 이것또한 마찬가지로 체의 정의에 속해.

여기서 항등원이란 실수 집합(R)과 덧셈(+)으로 예를들면 a + 0 = a 처럼 어떤 연산을 해도 결과가 바뀌지 않게 하는 원소( 0 )를 말해. 예의 경우 0은 덧셈에 대한 항등원이라고해.

역원은 a + (-a) = 0 처럼 어떤 연산을 하면 항등원이 나오게 하는 원소(-a)를 말하지. 이 예의 경우에도 -a는 덧셈에 대한 역원이라고 하지. (그럼 실수에서 곱셈에 대한 항등원과 역원은 뭘까?)

실수의 집합은 위의 조건을 다 만족하지? 그래서 실수 집합을 따로 실수체라 하기도 해. 또 수의 집합들을 다루는데 있어서 체라는걸 강조할때 실수체, 복소수체, 유리수체 이런식으로 자주써.


아무튼 이렇게 정의된 체는 벡터를 정의하는데 중요한 역할을 하는 집합이야. 다시 선형 변환의 정의를 읽어보자.

체 K위에 두 벡터 공간 VW가 있다...고 하는데 여기서 체 K위에 있다는 벡터 공간 V란게 뭘까?
이것에 대해서 설명하려면 얘기가 많이 길어지기 때문에...이 글에서는 너무 엄밀하게 하지않고 최대한 압축해서 말해볼게.
집합 V의 원소들에 대해서 이들을 서로 더하거나 일정 상수(스칼라)를 곱해서 늘렸다 줄였다 하든간에 똑같이 집합 V의 원소가 나오게 되면 V를 공간(space)라고 하는데, 이런 공간들 중에서 공간의 원소들이 체 K에 대해서 다음의 정의가 만족된 얘들이라면 이 공간을 특별히 체 K위의 벡터 공간(vector space)이라고 불러. 그리고 그 원소들을 벡터(vector)라고 부르지.
  • 1. (벡터 덧셈의 결합 법칙) 임의의 u,v,w\in V에 대하여, (u+v)+w=u+(v+w)
  • 2. (벡터 덧셈의 교환 법칙) 임의의 u,v\in V에 대하여, u+v=v+u
  • 3. (벡터 덧셈의 항등원) 임의의 u\in V에 대하여 u+0=u인 원소 0\in V가 존재한다.
  • 4. (역원의 존재) 임의의 u\in V에 대하여, -u+u=0인 원소 -u\in V가 존재한다.
  • 5. 임의의 a,b\in K 및 v\in V에 대하여, a\cdot (b\cdot v)=(ab)\cdot v
  • 6. 임의의 v\in V에 대하여, 1\cdot v=v. 여기서 1\in K는 K의 곱셈 항등원이다.
  • 7. (분배 법칙) 임의의 a,b\in K 및 u,v\in V에 대하여, (a+b)\cdot (u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v

여기서 체 K 그 안의 원소들을 스칼라라고 해. (벡터와 스칼라는 서로 대비되는 개념이지만 벡터의 정의에 스칼라가 포함된 만큼 어떻게 보면 스칼라는 벡터를 정의하기 위한 필수 요소이기도 하지.)

일단 위에서 말했듯이 조건에서 u,v,w\in V는 u, v, w가 벡터라는걸 의미하고 a,b\in K는 a, b가 스칼라라는걸 의미하겠지?
근데 조건을 자세히 보다보면 덧셈이 정의 되어있고 덧셈에 대해서는 항등원과 역원이 존재하는데반해 곱셈에 대해서는 아예 정의조차 안나와있는걸 알 수 있어. 즉 이 말은 벡터 공간에서는 벡터끼리의 곱연산에 대해서 아무런 제약이 없다는 걸 말해. 이 말은 어떤 연산을 곱연산으로 정의하든 그 곱연산에는 항등원이나 역원 혹은 둘 다 존재하지 않아도 되고 아니면 아예 그 집합에 곱연산 자체가 정의가 안되어있어도 충분히 벡터 공간이 될 수 있다는 얘기야.

근데 벡터의 정의를 좀 읽다보니... 결국 실수 집합도 벡터 공간이 되는 걸 알수있어! 즉 실수도 벡터가 될수 있다라는 얘기야!

12.JPG

맞아 실수들의 집합도 벡터 공간이야. 기하학적으로 생각해보면 실수 수직선에서도 엄연히 방향 (+), (-)이 있고 크기(절댓값)가 정의되지.

그리고 2편에서 복소수가 벡터가 아니라고 했지만 사실 복소수 집합도 엄연히 따지면 벡터 공간을 생각할 수 있어. 그때 말한 의미는 우리가 일반적으로 알고있는 학창시절에 배웠던 기하적 의미의 벡터와는 다른 수학적 도구라는 의미야. (곱셈만 생각해도 다르게 정의 되어있다는걸 알 수 있지) 이부분에선 좀 너무 과하게 얘기한 감이 있다고 생각해 ㅎㅎ;


그러면 이제 다시 선형변환 얘기를 해볼까? 두 벡터공간 VW 사이에 정의된 함수 T\colon V\to W에 대해서 살펴보자. 사실 위에 위키에서 긁어온 내용은 정확히 따지면 선형 변환이 아니라 선형 사상을 말해. 근데 뭐 어찌됐든 이 부분은 별거 없어. 그냥 우리가 일반적으로 알고 있는 함수의 개념과 똑같아.
T\colon V\to W 라는 의미는 벡터 공간 V의 임의의 원소 02.png를 벡터공간 W에 속한 어떤 단 하나의 원소 03.png에 대응 시키는 규칙적인 대응 관계 01.png를 의미해.
이때 이 01.png를 위키에선 함수라고 했지만 사상(map)이라고 하기도 해. (일상에서도 흔히들 무언가에 무언가를 대응시킬때 매핑한다고 하지? 그게 이거랑 같은 의미야!)

그리고 여기서 정의역과 공역이 같은(V=W) 경우, 즉 04.png처럼 자기 자신의 집합으로 대응(사상)시키는 01.png를 자기 사상이라고 하는데, 벡터 공간을 다룰땐 특별히 이런 01.png를 변환(transformation)이라고 불러. 그럼 이제 자잘한 설명은 다 끝났어. 이 변환 01.png가 다음의 두 조건을 만족하면 이 01.png를 선형 변환이라고 부르는 거야.


  • 임의의 두 벡터 u,v\in V에 대하여, {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}
  • 임의의 스칼라 a\in K 및 벡터 v\in V에 대하여, {\displaystyle T(av)=aT(v)}


이것에 대한 내용은 복소수 행렬에 대해 얘기하면서 다뤄보자. 일단은 우리가 2편과 3편에 걸쳐서 얘기했던 복소수 행렬이 벡터가 될 수 있는지 생각해볼까? 

간단하게 위에서 말했듯이 복소수 집합은 벡터 공간이라 했고 이 안의 복소수를 단순히 중복없이 일대일로 특수한 행렬에 대응시킨것이 복소수 행렬이고 연산까지 같은 의미니까(이를 동형이라고 해.) 복소수 행렬도 마찬가지로 벡터가 된다는 건 유추해낼 수 있어.

사실 좀 더 크게보면 모든 같은 크기의 행렬 집합은 벡터 공간이기도해. 즉 복소수 행렬은 모든 2 x 2행렬 집합의 부분집합이라 할 수 있어. 이 사실을 이용하면 복소수 행렬이 공간이라는 사실만 보여도 복소수 행렬의 집합이 벡터 공간이라는 걸 알 수 있지만 그래도 위에 주구장창 설명한 내용들을 좀 더 구체적으로 살펴보기 위해 정의를 이용해서 벡터 공간임을 알아보자! 위에 설명은 저렇게 거창하게 했지만 익숙하지 않은 단어들과 개념들이 난무하기 때문에 어렵게 느껴지는 것일 뿐이고 계산하는 부분에 있어서는 이번 편의 내용으로는 어려운 부분이 없어.


복소수 행렬의 집합 05.png (여기서 06.png은 실수 집합)가 있으면 이 07.png가 벡터 공간임을 확인해보자!

먼저 행렬에서는 덧셈에 대한 교환 법칙 09.png과 결합 법칙11.png 그리고 스칼라에 대한 분배법칙이 성립함을 조금만 계산해보면 알 수 있어. 이는 복소수 행렬도 마찬가지야.

이 성질을 이용해서 덧셈에 대한 항등원과 역원에 대해 생각해보자. 위에서 얘기했던대로 덧셈에 대한 항등원은 아무리 더해도 자기 자신이 나오는 얘라고 했는데 이를 수식으로 쓰면

임의의 복소수 행렬 08.png에 대해서 10.png를 만족하는 X가 항등원이라는 소리야.

X는 당연히 영행렬 12.png임을 행렬을 조금 공부한 사람이라면 0.001초만에 알 수 있어.

그런데 이 영행렬이 집합 C에 포함될까? 생각할 것도 없이 a=b=0인 경우 이겠지? 따라서 영행렬 O는 집합 C의 원소이고 이는 덧셈에 대한 항등원이 존재한다는 말이야.


또한 13.png를 만족하는 역원 X가 마찬가지로 -Z로 집합 C에 존재하는 것을 알 수있지.

그리고 실수체 06.png에 대해서 스칼라 곱에 대한 나머지 두가지 정의(5번 6번)도 행렬의 실수배 성질을 생각해보면 만족해.


따라서 집합 07.png도 벡터 공간이야. 즉 다시말해서 복소수 행렬도 벡터야.



그럼 복소수 행렬이 벡터인걸 알았으니 선형 변환이 무엇인지 알아보자. 위에서 얘기했던 것처럼 선형 변환은 함수로 생각할 수 있는데 특히 중요한 게 T가 그 벡터 공간에 대한 변환인가 즉, 04.png를 만족하냐가 중요해. T가 선형 변환이려면 먼저 변환이어야 되는 게 당연하겠지? V대신 복소수 행렬 집합 C를 이용해서 표현하면 14.png 로 쓸 수 있겠네. 구체적으로 예를 들어보자.


예를 들어 함수 T가 다음 처럼 주어졌다고 해보자.

16.png

그럼 이 T는 과연 C의 변환이 될 수 있을까?

답은 당연히 될 수 없다가 맞아. 행렬 17.png은 집합 C의 원소겠지만 함수 T에 의해 나오는 행렬 18.png은 어떻게 해도 08.png와 비슷한 모양으로 만들어 낼 수가 없어. 즉 다시말해서 집합 C의 원소가 될 수 없기 때문에 함수 T는 집합 C의 변환이 될 수 없어. 따라서 선형변환도 아닌게 되지. 다음의 함수 T도 C의 변환이 될 수 없는 함수야.

19.png


그렇다면 C의 변환이 될 수 있는 함수는 무엇일까? 다음의 함수를 보자.

20.png

모야 이게! 갑자기 확 복잡해졌는데? 라고 생각할 수도 있겠지만 잘보면 3편에서 봤던 복소수 행렬의 곱셈이야. 그걸 단지 함수로 표현한 것 뿐이야. 그런데 생각해 보니까 복소수 행렬의 곱셈으로 나온 결과는 복소수 행렬로 다시 나타낼 수 있었어. 다음 처럼 말이야.

21.png

즉 복소수 행렬의 곱셈은 C의 변환이 될 수 있다는 얘기야. 그럼 이게 과연 선형 변환의 조건도 충족할까? 한 번 확인해보자.

먼저 임의의 복소수 행렬(벡터) 두 개를 각각22.png라고 하면 이 두 벡터와 위의 변환 T에 대해서 다음이 만족하면 선형변환이야.

1. {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}

2. {\displaystyle T(av)=aT(v)}


그리고 계산해보면...

23.png

으로 1번을 만족하고 마찬가지로

24.png

2번도 만족함을 알 수 있어. 따라서 복소수 행렬의 곱셈은 복소수 행렬 집합의 일차변환, 즉 선형변환이기도 하다라는 의미야.


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저번 편 까진 고등학교 수학 수준에서만 얘기해봤다면 이번엔 벡터랑 변환이라는 많이 어려운 주제에 대해서 좀 길게 얘기해봤는데

제대로 수학공부한건 고등학교 수능 수학까지라서 추상대수학, 선형대수학은 잘 모르는 부분이 많아.

사실 이 부분은 그냥 고등학교 수학으로 대체하려 했지만 수학에 관심있는 친구들이라면 어차피 이미 알고 있는 내용이니 변환에 대해서 자세히 얘기해주고 싶어서 쓰게 됐어. (특히 글 마지막에 나온 복소수의 곱셈이 변환이라는 부분 말이지!)

쓰다보니 역시 내 수준에선 쉽게 설명하기 힘든 부분이라 좀 얼렁뚱땅 넘어간데가 많아서 대학교에서 전문적으로 배운 개붕이들은 아... 이건 좀 아니지 않나요? 하는 부분이 여러 군데 있을거야. 그럴땐 댓글로 많이 알려줬으면 좋겠어...

아무튼 여기까지 정독해줬다면 고마워. 또 나중에 언제 돌아와서 이어 쓸 수 있을진 모르겠지만... 사실 끝까지 쓸 자신이 없어진다...