1편: http://www.dogdrip.net/148655972

안녕 ㅎㅎ 1편에서는 복소평면이랑 오일러의 공식을 이용해서 복소평면에서 점을 각도를 포함한 수식으로 나타내는 방법과 그 점을 회전시키는 방법을 알아봤어.

오늘은 이 복소평면위의 점을 좌표평면 위로 가져가는 것에 대해서 얘기하려고 해.

그러면 바로 시작해보자!

지난 시간에 임의의 복소수 z=a+bi를 다음과 같이 나타낼 수 있다고 얘기했어.

그리고 이 점을 임의의 각 α로 회전 시키기 위해서는 복소수 z에 를 곱해야 한다는 것도 알았지.

그렇다면 이 모든걸 좌표평면으로 가져갈 수는 없을까? 사실 복소수 자체를 좌표평면 위로 옮기는 것은 쉬워.

하지만... 를 곱한다는 '연산'을 좌표평면으로 가져갔을 땐 어떻게 생각해야하는걸까...?

좀 고민해볼 필요가 있어.

일단 위에서 말했듯이 복소수 자체를 좌표평면 위로 옮기는 것은 쉬워.

위 그림 그대로 복소수 z=a+bi는 좌표평면 위에서 점 (a, b)와 대응된다고 볼 수 있지. 바로 아래 그림처럼.

일단 복소수를 좌표평면위의 점으로 가져오는 방법은 알았어. 이를 이용해서 복소수의 연산을 좌표평면 위로 가져오는 방법을 생각해보자.

잘 생각해보면 복소수 z에다가 어떤 연산을 해서 결과로 나오는 수도 복소수잖아?

그럼 그 복소수도 좌표평면 위에 나타내보자.

임의의 두 복소수 를 생각해보자. 이 두 복소수를 더한 복소수는 좌표평면에 어떻게 나타내어 질까?

일단 이 두 복소수를 좌표평면 위의 두 점 Z, W로 나타내면 좌표는 각각 가 될꺼야.

그리고 복소수 z와 w를 더하면 가 되는 걸 알 수 있어.

이 복소수를 나타내는 좌표평면 위의 점을라고 할께. 그러면 점 P의 좌표를 우리는 라는 것을 알고 있으니까

x랑 y의 값은 각각

이 되는 걸 알 수있어.

즉 이 말은 복소수의 덧셈은 좌표평면 상에서는 실수끼리 더한건 x에 허수끼리 더한건 y에 대응시킬 수 있다는 것이지.

혹은 점 Z의 x, y성분을 각각 W의 x, y성분만큼 평행이동했다고 볼 수도 있고

마찬가지로 W의 x, y 성분을 각각 Z의 x, y 성분만큼 평행이동 했다고 볼 수도 있지.

매우 간단해.

이걸 좌표평면에서 나타내면 이런 모양이야.

(1)   (2)   (3)

매우 익숙하지? 바로 벡터의 덧셈이랑 매우 흡사한걸 알 수 있어.

그리고 덧셈뿐만 아니라 상수곱도 벡터처럼 크기를 확대, 축소시킬 수도있어.

하지만 이렇게 생각하는 건 조금 위험해. 개인적인 생각이지만 어떻게 보면 논리적 비약이거든...

왜냐하면 이것 자체는 벡터가 아니야. 단지 덧셈에서는 비슷해보일 뿐이야.

벡터는 이 복소평면 이후에 나온 개념이니까 거꾸로 생각해버리는 셈이기도 하고.

그러니 음~ 이런건 벡터랑 비슷하구나~ 정도로만 생각하고 저것이 벡터가 아님은 알아둬! 어쨋든 다시 본론으로 들어가자.

덧셈을 좌표평면에서 생각하면 대략 평행이동과 같다는 것을 알았는데, 그러면 곱셈은 뭘까?

복소평면에서 곱셈의 의미와 그 결과는 '회전'이었고, 복소평면 위의 점은 좌표평면 위의 점으로 대응시킬 수 있으니까

좌표평면에서도 그 의미와 결과는 '회전'일거야.

그러면 복소수의 곱셈의 결과를 각 좌표평면의 x, y성분으로 나타내보자.

두 복소수 z와 w를 곱하면

이니까

가 되겠네.

음... 뭔가 쫌 그래... 회전이라는 것도 알고 값도 구할 수 있지만 뭔가 덜 끝난 기분이야. 

우리가 위에서 여태까지 해왔던 계산은 '복소수의 덧셈과 곱셈'이야. 그리고 그 계산을 한 뒤에 나온 복소수를 다시 좌표평면으로 가져갔어.

이건 우리가 목표한거랑 조금 다른것 같아.

왜냐하면 우리의 목표는 복소수의 덧셈과 곱셈을 좌표평면에 맞게 다르게 표현하는 것이거든.

결국 우리가 할 수 있는 것은 단지 좌표평면의 점을 복소수로, 복소수를 좌표평면 위의 점으로 표현하는 것 뿐이야.

아니면 아예 속편하게

라고 정의해버릴 수도 있지만... 그렇기엔 정말 타당한 근거가 없지. (덧셈은 좀 그럴듯해 보여도...)

복소평면에선 이러하니 좌표평면도 이렇게 정의하겠다... 이건 사실상 갑질이나 다름 없지 않을까?ㅋㅋ 좌표평면이 복소평면에 포함된 개념도 아니고 말이야.

여기서 우리에겐 새로운 표현방식, 새로운 도구가 필요할 것 같아. 그 도구는 바로 행렬이야. 

내가 고딩 때까지만 해도 행렬을 배웠었는데 교육과정이 바뀌면서 없어졌다고 하더라고... 현역 고딩인 개드리퍼에겐 미안하지만 행렬에 대한 개념은 여기서 따로 설명하진 않을께. 글이 매우 길어져서 말이야...

어쨌든 다시 본론으로 돌아가서 밑의 식을 다시 봐보자.

위에는 복소수 z와 w를 더해서 나온 x, y값이고, 밑에는 곱해서 나온 x, y의 값인데...

잘 생각해보면 위 식을 행렬식으로 바꿔서 표현할 수도 있을 것같아.

즉 점 (x, y)는 행렬로, 복소수 a+bi에 대응되는 점 (a, b)를 , 복소수 c+di에 대응되는 점 (c, d)를 로 나타낸다면

덧셈은

으로 나타낼 수 있어.

그리고 점 (c, d)를 대응되는 복소수 c+di로 표현한 후 거기에 복소수 a+bi를 곱해서 다시 좌표평면의 점으로 가져간 것(...)은 행렬식으로

라고 나타낼 수 있어.

반대로 복소수 a+bi에 대응되는 점 (a, b)에 복소수 c+di를 곱한걸 행렬식으로 표현하면

로 표현할 수도 있지.

흠... 이렇게 복소수의 곱셈을 행렬로 바꿔서 표현했더니 잘 들어맞기도 하고 더 놀라운건 식에서는 전혀 허수가 전혀 보이지 않는단 사실이야. 허수 i를 사용하지 않았는데 계산은 복소수의 곱셈, 덧셈이랑 잘 들어맞지.

그러니 우리가 목표로 했던 복소수의 연산을 다르게 표현하는 방법으로 행렬이라는 도구를 이용한다면 아주 괜찮을 것 같아.

굳이 점을 복소수로 표현한 뒤에 계산할 필요없이 위의 행렬식에 계수만 대입하면 쉽게 복소수의 덧셈, 곱셈을 할 수 있으니까 말이야. 우리의 목표는 어느정도 이뤄진 셈이네. 

하지만 여기서 조금만 더 위의 결과를 깊게 생각해보자. 곱셈에서

복소수 a+bi를 곱한 건 행렬 을 곱한 것이고, 복소수 c+di를 곱한 건 행렬 을 곱한 것이었어. 이 행렬의 정체는 무엇일까?

어쩌면 복소수가 행렬로 표현된 형태인 것은 아닐까? 다음 처럼 말이야.

아직 확신이 들진 않으니까 행렬에 대해서 조금 더 알아보자.

보니까 위의 행렬을 a와 b를 이용해서 쪼갤 수 있을 것같아. 쪼개면

라고 나타낼 수 있지.

행렬 은 단위행렬로 행렬의 곱셈에 대한 항등원인데, 실수에서 곱셈에 대한 항등원은 1이니까

a*1+bi라고 생각하면 위 행렬은 1에 대응되는 것 같기도해. 

헉, 그러면 Hoxy... 행렬 은 허수 i에 대응되는 것일까? 확인해보자.

허수 i의 정의는 다음과 같아.

그렇다면 위 행렬을 제곱했을 때 그 결과로 실수 -1과 대응 되는 행렬 이 나온다면... 소오름 이겠지.

그리고 우리의 예상대로...

인 것을 알 수 있어. 즉

라고 하면

가 성립해. 즉 실수 1을 행렬 E=로 대응시키듯이, 허수 i도 행렬 I=로 대응시킬 수 있다는 것이야.

따라서 복소수를 행렬로 표현할 수 있게 돼!

그리고 복소수를 좌표평면 위로 가져가는 것은 행렬로 생각했을 때 행렬에서 앞에 1열의 원소인 만 떼오는 걸로 생각할 수 있어!

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으악.. 힘드네... 의외로 추천을 많이 받아서 신나가지고 주말동안 이것만 붙잡은 것 같아 ㅋㅋ 재밌게 읽어줘서 고마워.

그리고 사실 위에서 곱셈을 행렬식으로 표현한 것은 일차변환에 대한 내용이지만 일차변환은 다음에 소개하고싶었기 때문에 은근슬쩍 말을 돌려서 썼어.

그렇기 때문에 수학을 잘 알고있는 사람의 눈에는 좀 거슬리는 표현이 있을 수가 있어. 그 점은 양해해줘 ㅎㅎ;