이러한 문제를 해결하기위해 당대 가장 위대한 수학자로 꼽히는 다비드 힐베르트 ( David Hilbert )를 중심으로한 많은 수학자들이

모두가 신뢰할수 있는 하나의 공리계를 만들고자 노력했어

그 결과로 체르멜로와 프렝컬이라는 두명의 수학자가 자신들의 이니셜을따 ZF 공리계라고 불리는것을 만들고

나중에 추가로 선택공리를 포함해서 ZFC 공리계라는 이름을 붙였어 

( C는 선택의 Choice에서 따와 추가되었어 )

ZF공리계에 대해 궁금해 할지도 모르지만, 매우 단순하면서 지루한 내용이라서 이에대해선 넘기고

오늘의 테마인 선택공리가 무엇인지 알아보자

선택공리의 진술자체는 단순명료해

"주어진 집합을 여러가지로 분할하였을때, 각 분할에서 하나씩 대표를 뽑을 수 있다."

이를 주장하는것이 선택공리야 

너무 추상적이라서 이해가 안될거야. 간단히 예시를 들면 

자연수를 짝수와 홀수로 나눌수 있지?  이렇게 짝수와 홀수로 나눈것을 분할이라고 하고

여기서 짝수의 대표인 2 라는 숫자를,  홀수의 대표인 1 이라는 숫자를 뽑을수 있다고 주장하는 내용이야

여기서는 너무나 당연한 내용처럼 보이는데, 이것이 왜 나중에 추가된 공리냐고 의아애 할 수 있어

그런데 선택공리의 신기한점은 무한히 큰 집합을 무한히 많은 구성으로 분할하였을때 기묘한 결과를 도출했다는 거야 

대표적인 예시로 고등학교 수학을 공부한 사람들은

 x , y 가 실수일때

$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$를 만족하는 함수는 $f\left(x\right)=kx$ ( k는 상수 )가 되어야 한다고 알고 있을거야

하지만 선택공리를 사용하면 이에대한 반례를 만들수가 있어

이 글의 주제가 될 바나흐 타스키 역설도 선택공리때문에 발생하는 대표적인 기묘한 내용중 하나야

추가로 이어지는 이야기를 해보자면

몇몇 수학자들은 선택공리가 만들어 내는 기묘한 결과들을 받아들일수 없었고

이러한 결과가 실제론 거짓일지도 모른다고 생각했어 

따라서 선택공리가 다른 공리들과 모순된 내용을 포함하고 있을것이라 생각했지

그래서 '선택공리를 제외한 ZF공리계에서 선택공리가 참이거나 거짓임을 증명할수 있지 않을까?' 

하는 추측을 하며 이를 증명하려고 했지. 이러한 과정에서 수리논리학이 발전했어

그러던 와중 그 유명한 쿠르트 괴델 ( Kurt Godel ) 이 등장해 1938년에 불완정성 정리라는것을 발표하였어

이 불완정성 정리를 간단히 말하자면

 '우리가 아는 자연수와 사칙연산을 받아들이면, 공리가 아니지만 참인지 거짓인지 증명할수 없는 명제가 존재한다'  

괴델은 이를 이용해 2년뒤 선택공리가 ZF 공리계에서 '거짓임을 증명할수 없다' 는 것을 보였고

수십년뒤 프린스턴 고등연구소에 폴 코헨 ( Paul Cohen ) 이라는 사람이 '참임을 증명할수 없다' 는 사실을 보여 

수학계 최고의 명예인 필즈상을 받게되

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어떻게든 3편으로 끝내보려고 내용을 우겨넣었는데

재미있는 내용을 쑤셔넣다보니 바나흐 타스키 역설에 대해서는 언급만 하고

수리논리학의 역사에대한 이야기만 하다가 넘어가게 됬네 ;;

어쨋든 선택공리에대해 알게 되었으니

다음엔 진짜로 바나흐 타스키 역설에대해 이야기를 할거야

여담이지만 위에 언급한 러셀이라는 사람은 넘사벽 스펙으로도 유명해

영국 수상을 배출한 귀족가 출신에 젊을때 수학을 전공하다 어느정도 나이가 먹고나선 철학자가 되고 말년엔 사회학자가 되었지

1950년에 사회운동을 한것으로 노벨 평화상을 받기도 하였어

그가쓴 철학서들은 오늘날에도 많은 인문계 대학생들의 필독서로 남아있어

공부하기 싫어서 시작한 글이지만 이젠 정말로 공부가 밀려서 공부하느라

마지막편은 빨라도 이번 연휴 끝날때 올릴거 같아 미안 ㅠㅠ 

+  집합론을 무한의 크기를 다루는 분야라고 했는데

사실 그렇게 단순한 분야가 아니야

나중에 이쪽도 시간나면 소개해볼게

++ 특정내용 소개해 달라는 댓글이 있던데

내 능력이 허락하는 내용이고 시간나면 노력해봄